Пересечение открытых множеств в фактор-топологии

В фактор-топологии прообраз конечного пересечения открытых множеств совпадает с пересечением их прообразов. Поскольку пересечение конечного числа открытых множеств остаётся открытым в исходной топологии пространства $ X $, выполняется соотношение: $$ p^{-1}\!\left(\bigcap U_i\right)=\bigcap p^{-1}(U_i) $$ Из этого следует важное свойство: конечное пересечение открытых множеств в фактор-топологии также является открытым множеством.

Практический пример

Чтобы лучше понять это свойство, рассмотрим одно из самых известных фактор-пространств: $ A=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Его удобно представлять в виде окружности. При этом исходным пространством является множество действительных чисел $ \mathbb{R} $, а фактор-отображение $ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} $ сопоставляет каждому числу его дробную часть.

Фактор-пространство можно отождествить с полуинтервалом [0,1). Точки, отличающиеся на целое число, считаются эквивалентными и представляют одну и ту же точку окружности.

Например, числа 0.3, 1.3 и 2.3 переходят в одну и ту же точку 0.3.

example

Рассмотрим два открытых множества в пространстве $ A $:

$$ U_1=(0.1,0.5) $$

$$ U_2=(0.3,0.7) $$

Оба интервала являются открытыми множествами в фактор-топологии пространства $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Найдём их пересечение:

$$ U_1\cap U_2=(0.3,0.5) $$

Нетрудно заметить, что результатом снова является открытый интервал. Следовательно, пересечение остаётся открытым множеством на окружности.

Посмотрим, что происходит в исходном пространстве $ \mathbb{R} $.

Прообраз множества $ U_1 $ состоит из бесконечного числа одинаковых открытых интервалов, повторяющихся через каждую единицу:

$$ p^{-1}(U_1)=(0.1,0.5)\cup(1.1,1.5)\cup(2.1,2.5)\cup\dots $$

Аналогично, прообраз множества $ U_2 $ имеет вид:

$$ p^{-1}(U_2)=(0.3,0.7)\cup(1.3,1.7)\cup(2.3,2.7)\cup\dots $$

Теперь найдём прообраз пересечения $ U_1 \cap U_2 $.

По свойству прообразов:

$$ p^{-1}(U_1\cap U_2)=p^{-1}(U_1)\cap p^{-1}(U_2) $$

Выполняя пересечение соответствующих интервалов, получаем:

$$ p^{-1}(U_1\cap U_2)=(0.3,0.5)\cup(1.3,1.5)\cup(2.3,2.5)\cup\dots $$

Этот прообраз представляет собой объединение открытых интервалов на числовой прямой. А объединение открытых множеств остаётся открытым, поэтому прообраз является открытым множеством в стандартной топологии пространства $ \mathbb{R} $.

Поскольку прообраз множества $ U_1\cap U_2 $ открыт в $ \mathbb{R} $, само множество $ U_1\cap U_2 $ открыто в фактор-топологии пространства $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Этот пример наглядно показывает, почему конечные пересечения открытых множеств сохраняют открытость в фактор-топологии. Свойство напрямую следует из определения фактор-топологии через прообразы открытых множеств.

И так далее.