Метрическая топология

Метрическая топология на множестве $ X $ порождается базой, состоящей из открытых шаров, заданных метрикой $ d $ на $ X $. Такую топологию также называют топологией, индуцированной метрикой $ d $.

Если на множестве $ X $ задана метрика $ d $, то она естественным образом определяет и топологию этого пространства. Все открытые множества в такой топологии строятся с помощью открытых шаров.

Открытый шар с центром в точке $ x \in X $ и радиусом $ \varepsilon > 0 $ представляет собой множество всех точек $ y \in X $, расстояние от которых до точки $ x $ меньше $ \varepsilon $:

$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$

Именно открытые шары служат строительными блоками метрической топологии: любое открытое множество можно представить как объединение таких шаров.

Эквивалентно, множество $ U \subset X $ открыто в топологии, индуцированной метрикой $ d $, тогда и только тогда, когда для каждой точки $ y \in U $ существует число $ \delta > 0 $, такое что открытый шар $ B_d(y, \delta) $ полностью содержится в $ U $.

Практический пример
Открытые множества в метрической топологии
Основные виды метрик
Дополнительные замечания

Практический пример

Рассмотрим пространство $\mathbb{R}$, то есть множество всех действительных чисел, снабженное обычной евклидовой метрикой.

Расстояние между двумя точками $x$ и $y$ определяется формулой

$$ d(x, y) = |x - y|. $$

Здесь $|x-y|$ обозначает модуль разности чисел $x$ и $y$.

Эта функция удовлетворяет всем аксиомам метрики, поэтому с ее помощью можно строить открытые шары.

Возьмем, например, точку $x = 3$ и радиус $\varepsilon = 1$.

Соответствующий открытый шар имеет вид

$$ B_d(3, 1)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<1\}=\{y\in\mathbb{R}\mid |3-y|<1\}. $$

Решая неравенство $ |3-y|<1 $, получаем

$$ 2

Следовательно,

$$ B_d(3,1)=(2,4). $$

Таким образом, открытый шар с центром в точке $3$ и радиусом $1$ совпадает с открытым интервалом $(2,4)$.

пример

Аналогично любой открытый интервал $(a,b)$, например $(2,4)$ или $(5,7)$, можно рассматривать как открытый шар или как объединение открытых шаров относительно метрики $d(x,y)=|x-y|$.

открытые множества

Именно такие интервалы образуют базу метрической топологии на $\mathbb{R}$.

Примечание. Интервал $(0,5)$ является открытым множеством, поскольку для любой его точки можно выбрать достаточно малый открытый интервал, полностью лежащий внутри $(0,5)$. Это свойство характерно для всех открытых множеств в метрической топологии.

Следовательно, обычная топология открытых интервалов на $\mathbb{R}$ является именно той топологией, которую порождает метрика $d(x,y)=|x-y|$.

Открытые множества в метрической топологии

Подмножество $ U \subset X $ называется открытым, если для каждой точки $ y \in U $ существует открытый шар с центром в $ y $, полностью содержащийся в $ U $.

Другими словами, вокруг каждой точки открытого множества всегда можно провести достаточно малую окрестность, не выходящую за его пределы.

В двумерном пространстве такая окрестность имеет форму круга, а в пространствах большей размерности она представляет собой шар.

Ниже показан пример открытого множества в метрическом пространстве $ \mathbb{R}^2 $.

пример открытого множества в метрической топологии

Замкнутые множества, напротив, содержат все свои граничные точки. Например, замкнутый шар включает как внутренние точки, так и всю свою границу.

пример замкнутого множества

Таким образом, открытость множества определяется существованием окрестности вокруг каждой его точки, тогда как замкнутость связана с включением всех граничных точек.

Основные виды метрик

Метрическую топологию можно определить с помощью различных метрик. На плоскости $ \mathbb{R}^2 $ наиболее распространены следующие.

Евклидова метрика
При этой метрике открытые шары имеют форму кругов. Она задает стандартную топологию на $ \mathbb{R}^2 $.
$$ d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}. $$
Метрика такси (манхэттенская метрика)
В этой метрике открытые шары имеют форму ромбов. Несмотря на различную геометрическую форму шаров, она также порождает стандартную топологию на $ \mathbb{R}^2 $.
$$ d_T(p,q)=|p_1-q_1|+|p_2-q_2|. $$
Максимум-метрика
Здесь открытые шары имеют форму квадратов со стороной $2\varepsilon$. Эта метрика также порождает топологию на $ \mathbb{R}^2 $.
$$ d_M(p,q)=\max\{|p_1-q_1|,\ |p_2-q_2|\}. $$

Хотя открытые шары в этих трех метриках имеют разную форму, все они порождают одну и ту же стандартную топологию на плоскости $ \mathbb{R}^2 $.

Дополнительные замечания

Ниже приведены две важные теоремы, связанные с метрическими топологиями.

Теорема о сравнении метрических топологий
Пусть $d$ и $d'$ являются метриками на множестве $X$, порождающими топологии $\mathcal{T}$ и $\mathcal{T}'$. Тогда топология $\mathcal{T}'$ тоньше топологии $\mathcal{T}$ тогда и только тогда, когда для любой точки $x \in X$ и любого $\varepsilon>0$ существует число $\delta>0$, удовлетворяющее условию $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon). $$

Иными словами, каждая окрестность в топологии $\mathcal{T}$ содержит более "малую" окрестность из топологии $\mathcal{T}'$.
Теорема об ограниченной метрике
В метрическом пространстве $ (X,d) $ можно определить ограниченную метрику $$ d'(x,y)=\min(d(x,y),\varepsilon), \qquad \varepsilon>0. $$ Несмотря на изменение самой функции расстояния, она порождает ту же топологию, что и исходная метрика $d$.

И так далее.