Метрическое пространство

Что такое метрическое пространство?

Метрическое пространство это пара \( (X, d) \), где \( X \) является множеством, а \( d \) функцией, называемой метрикой. Она каждой паре точек \( x, y \in X \) сопоставляет неотрицательное действительное число \( d(x, y) \), которое определяет расстояние между этими точками. Такое пространство принято обозначать как \( (X, d) \). $$ (X,d) $$

Чтобы функция \( d \) была метрикой, она должна удовлетворять трем основным аксиомам:

1. Неотрицательность: \( d(x, y) \geq 0 \) для любых \( x, y \in X \), причем \( d(x, y) = 0 \) тогда и только тогда, когда \( x = y \). Иными словами, расстояние от точки до самой себя равно нулю, а между двумя различными точками всегда положительно.
2. Симметричность: \( d(x, y) = d(y, x) \) для любых \( x, y \in X \). Расстояние от \( x \) до \( y \) совпадает с расстоянием от \( y \) до \( x \).
3. Неравенство треугольника: \( d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) \) для любых \( x, y, z \in X \). Прямой путь между двумя точками никогда не длиннее пути через третью точку.

Благодаря этим свойствам метрическое пространство позволяет строго определять расстояния между элементами множества и исследовать такие фундаментальные понятия математического анализа и топологии, как непрерывность, сходимость и компактность.

Проще говоря, метрическое пространство это множество \( X \), на котором задана функция расстояния \( d \).

В качестве множества \( X \) может выступать практически любой математический объект: от простого набора точек до векторного пространства.

Практический пример

Наиболее известным примером метрического пространства является евклидово пространство \( \mathbb{R}^n \). При \( n = 2 \) это обычная плоскость, а при \( n = 3 \) трехмерное пространство.

Рассмотрим пространство \( \mathbb{R}^2 \), то есть декартову плоскость.

Евклидова метрика \( d \) для двух точек \( p = (p_1, p_2) \) и \( q = (q_1, q_2) \) определяется формулой:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

Эта формула задает евклидово расстояние, то есть длину отрезка, соединяющего точки \( p \) и \( q \).

Нетрудно убедиться, что данная функция действительно является метрикой:

1. Неотрицательность: значение квадратного корня всегда неотрицательно. При этом \( d(p, q) = 0 \) только тогда, когда \( p = q \).
2. Симметричность: \( d(p, q) = d(q, p) \), поскольку \( (p_1 - q_1)^2 = (q_1 - p_1)^2 \).
3. Неравенство треугольника: расстояние между двумя точками не превышает суммы расстояний через третью точку. Это следует из теоремы Пифагора и основных свойств евклидовой геометрии.

Следовательно, пространство \( (\mathbb{R}^2, d) \), где \( d \) является евклидовой метрикой, представляет собой классический пример метрического пространства.

Функция расстояния (метрика)

Что такое функция расстояния?

Функция расстояния, или метрика, это функция \( d(x_1, x_2) \), удовлетворяющая следующим условиям:

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) тогда и только тогда, когда \( x_1 = x_2 \)
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)

для любых \( x_1, x_2, x_3 \in X \).

Основные виды метрик

На одном и том же множестве можно определить разные функции расстояния. Выбор метрики зависит от решаемой математической задачи.

Евклидова метрика

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

Это наиболее распространенная метрика, лежащая в основе классической евклидовой геометрии.

Манхэттенская метрика

Эта метрика широко используется в геометрии такси. Она получила свое название по аналогии с уличной сетью Манхэттена, где движение происходит вдоль кварталов, а не по диагонали.

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

Дискретная метрика

В дискретной метрике расстояние между двумя различными точками всегда равно 1, а расстояние от точки до самой себя равно 0.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: if \: x = y \\ 1 \:\:\: if \: x \ne y \end{cases} $$

Метрика, индуцированная нормой

Норма всегда порождает метрику.

Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой.

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

Это означает, что норма вектора совпадает с расстоянием от данного вектора до нулевого вектора.

Следовательно, любое нормированное векторное пространство автоматически является метрическим пространством.

Замечание. Обратное утверждение неверно: не всякая метрика может быть индуцирована некоторой нормой.

Свойства метрики, индуцированной нормой

Метрика называется индуцированной нормой, если для любых векторов выполняются следующие условия:

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

Здесь \( v_1, v_2, v_3 \in V \), а \( k \in K \) является скаляром.

Пример

Покажем, что евклидова норма действительно индуцирует евклидову метрику.

Рассмотрим три вектора евклидова пространства:

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

Их нормы равны:

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

Соответствующие расстояния, индуцированные нормой, имеют вид:

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_V) = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_V) = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_V) = 3 $$

По определению, равенство $$ ||v|| = d(v, 0_V) $$ выполняется, если соблюдаются два условия:
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

Проверим каждое из них.

Первое условие

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$ $$ d(10 + 3, 5 + 3) = d(10, 5) $$ $$ d(13, 8) = d(10, 5) $$

Вычислим расстояние в левой части:

$$ d(13, 8) = \sqrt{(13 - 8)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Теперь вычислим расстояние в правой части:

$$ d(10, 5) = \sqrt{(10 - 5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Следовательно,

$$ d(13, 8) = d(10, 5) = 5 $$

Первое условие выполнено.

Второе условие

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$ $$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) $$

Положим \( k = 2 \).

$$ d(2 \cdot 10, 2 \cdot 5) = |2| \cdot d(10, 5) $$ $$ d(20, 10) = |2| \cdot d(10, 5) $$

Тогда

$$ d(20, 10) = \sqrt{(20 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

и

$$ |2| \cdot d(10, 5) = 2 \cdot \sqrt{(10 - 5)^2} = 2 \cdot 5 = 10 $$

Следовательно,

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) = 10 \:\:\: \text{при} \:\: k = 2 $$

Второе условие также выполнено.

Итак, мы убедились, что в евклидовом пространстве метрика действительно индуцируется нормой.

Дополнительные замечания

Ниже приведены некоторые важные свойства и факты, связанные с метрическими пространствами.

• Ограниченное множество в метрическом пространстве
  Пусть \((X, d)\) является метрическим пространством. Подмножество \(A \subseteq X\) называется ограниченным, если существует число \(\mu > 0\) и точка \(x_0 \in X\), для которых выполняется условие $$ d(x, x_0) \leq \mu \quad \text{для всех } x \in A $$ Это означает, что все точки множества \(A\) можно поместить внутрь некоторого шара конечного радиуса с центром в точке \(x_0\).

  Замечание. Ограниченность множества не зависит от того, является оно открытым или замкнутым. Она определяется исключительно расстояниями между точками.

• Ограниченная метрика
  Если все множество \(X\) ограничено относительно метрики \(d\), то такая метрика называется ограниченной.
• Теорема о базе топологии, индуцированной метрикой
  В метрическом пространстве \((X, d)\) семейство всех открытых шаров \( \mathcal{B} \) образует базу топологии на множестве \(X\): $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$
• Теорема о непрерывности в метрических пространствах
  Отображение \(f : X \to Y\) между метрическими пространствами \((X, d_X)\) и \((Y, d_Y)\) называется непрерывным, если для любой точки \(x \in X\) и любого числа \(\varepsilon > 0\) существует число \(\delta > 0\), такое что из условия $$ d_X(x, x') < \delta $$ следует $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$ для любой точки \(x' \in X\).
• Метрические пространства являются хаусдорфовыми
  Любое метрическое пространство является хаусдорфовым. Обратно, если топологическое пространство не удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа, то никакая метрика не может индуцировать его топологию.

  Замечание. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две различные точки можно разделить непересекающимися открытыми окрестностями.

Это лишь некоторые из многочисленных свойств метрических пространств.