Точки накопления в топологии

Точка $x$ топологического пространства $X$ называется точкой накопления подмножества $A \subseteq X$, если любая окрестность точки $x$ содержит хотя бы одну точку множества $A$, отличную от самой точки $x$.

Проще говоря, как бы близко мы ни рассматривали точку $x$, рядом с ней всегда будут находиться другие точки множества $A$.

Эквивалентно, точка $x$ является точкой накопления множества $A$, если для любой окрестности $U$ точки $x$ выполняется условие

$$ U \cap (A \setminus \{x\}) \neq \emptyset $$

Важно отметить, что точка накопления необязательно принадлежит самому множеству $A$.

В пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}$ понятие точки накопления обычно понимается интуитивно. На числовой прямой точка $x$ является точкой накопления множества $A$, если любая окрестность точки $x$, то есть интервал $(x-\epsilon, x+\epsilon)$, содержит точки множества $A$, отличные от $x$.
пример точки накопления на числовой прямой
Это определение естественным образом переносится и на пространства большей размерности, например на $\mathbb{R}^n$. В этом случае точка $x$ считается точкой накопления множества $A$, если любая её окрестность пересекается с $A$ хотя бы в одной точке, отличной от $x$. Однако в многомерных пространствах геометрическая интуиция уже не всегда столь очевидна, как на прямой.

Практические примеры
Замечания

Практические примеры

Рассмотрим несколько примеров в пространстве $\mathbb{R}$ со стандартной топологией.

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Множество $A$ состоит из точек

$$ \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \right\} $$

Проверим, является ли число $0$ точкой накопления множества $A$.

Возьмём произвольную окрестность точки $0$. Она обязательно содержит некоторый открытый интервал $(a,b)$, где $a < 0 < b$.

Поскольку последовательность $\frac{1}{n}$ стремится к нулю при $n \to \infty$, для достаточно больших $n$ точки вида $\frac{1}{n}$ будут попадать внутрь интервала $(a,b)$.

Следовательно, любая окрестность точки $0$ содержит точки множества $A$, отличные от $0$.

Значит, $0$ является точкой накопления множества $A$.

пример точки накопления

Пример 2

Рассмотрим другое множество:

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Оно содержит точки

$$ \left\{2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots \right\} $$

Исследуем точку $1$.

Любая открытая окрестность точки $1$ содержит интервал $(a,b)$, где $a < 1 < b$.

Однако все точки множества $B$ строго больше $1$.

Поэтому можно выбрать окрестность точки $1$, которая вообще не содержит точек множества $B$.

Следовательно, точка $1$ не является точкой накопления множества $B$.

Пример 3

Теперь рассмотрим множество $(0,1]$ в пространстве $\mathbb{R}$.

Требуется найти все его точки накопления.

Согласно определению, точка $x$ является точкой накопления множества $(0,1]$, если любая окрестность точки $x$ содержит точки множества $(0,1]$, отличные от $x$.

Точки внутри интервала (0,1]
Пусть $x \in (0,1]$. Тогда любая окрестность точки $x$ представляет собой интервал $(a,b)$, где $a < x < b$. Внутри такого интервала всегда найдутся другие точки множества $(0,1]$. Следовательно, каждая точка интервала $(0,1]$ является точкой накопления.
Граничные точки интервала
Рассмотрим отдельно точки $0$ и $1$.
- Точка $0$: Любая окрестность точки $0$ содержит положительные числа, сколь угодно близкие к нулю. Поэтому такая окрестность всегда пересекается с множеством $(0,1]$. Следовательно, $0$ является точкой накопления множества $(0,1]$.

- Точка $1$: Любая окрестность точки $1$ содержит числа, немного меньшие $1$, которые принадлежат множеству $(0,1]$. Следовательно, $1$ также является точкой накопления множества $(0,1]$.
Точки вне интервала [0,1]
Пусть теперь $x \notin [0,1]$. Если $x < 0$ или $x > 1$, можно выбрать окрестность точки $x$, которая полностью не пересекается с множеством $(0,1]$.
Например, если $x < 0$, достаточно взять интервал $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ с достаточно малым $\epsilon$. Аналогично, если $x > 1$, можно выбрать окрестность, не содержащую точек множества $(0,1]$. Следовательно, точки вне интервала $[0,1]$ не являются точками накопления множества $(0,1]$.

Таким образом, множество всех точек накопления интервала $(0,1]$ совпадает с замкнутым интервалом $[0,1]$.

Пример 4

Теперь рассмотрим то же множество $A=(0,1]$, но уже в топологии нижнего предела на $\mathbb{R}$.

Топология нижнего предела задаётся интервалами вида $[a,b)$, где $a< b$. Открытые множества в этой топологии являются объединениями таких полуинтервалов.

Напомним, что точка $x$ является точкой накопления множества $A$, если любая её окрестность содержит точки множества $A$, отличные от $x$.

Рассмотрим различные случаи.

Точки x ∈ (0,1)
Любая окрестность вида $[x,x+\epsilon)$ содержит точки множества $A$, отличные от $x$. Поэтому каждая точка интервала $(0,1)$ является точкой накопления множества $A$.
Точка x = 1
Любая окрестность точки $1$ имеет вид $[1,1+\epsilon)$. Такая окрестность пересекается с множеством $A$ только в самой точке $1$. Следовательно, $1$ не является точкой накопления множества $A$.
Точка x = 0
Любая окрестность вида $[0,0+\epsilon)$ содержит положительные точки множества $A$. Поэтому $0$ является точкой накопления множества $A$.
Точки x < 0 или x > 1
Для любой такой точки можно выбрать окрестность, не пересекающуюся с множеством $A$. Следовательно, эти точки не являются точками накопления множества $A$.

Итак, в топологии нижнего предела множество точек накопления множества $A=(0,1]$ равно полуинтервалу $[0,1)$.

Замечания

Ниже приведены несколько важных свойств точек накопления.

Замыкание множества
Замыкание множества $A$ состоит из всех точек самого множества и всех его точек накопления: $$ \text{Cl}(A)=A \cup A' $$ где $A'$ обозначает множество всех точек накопления множества $A$.
Связь с последовательностями
Если $x$ является точкой накопления множества $A \subseteq \mathbb{R}$, то существует последовательность точек $$ x_i \in A \setminus \{x\} $$ которая сходится к точке $x$.
Единственность предела
В стандартной топологии пространства $\mathbb{R}$ предел сходящейся последовательности всегда единственен. Однако в более общих топологических пространствах это свойство может не выполняться.

И так далее.