Топология выделенной точки

Топология выделенной точки на множестве X с фиксированной точкой p - это семейство всех подмножеств множества X, которые либо пусты, либо содержат эту точку p.

Иными словами, в такую топологию входят пустое множество, всё множество X и все его подмножества, где присутствует точка p.

Эта конструкция также известна под названием «топология фиксированной точки».

Примечание. Чтобы семейство множеств считалось топологией, оно должно удовлетворять основным аксиомам топологического пространства: включать пустое множество и всё множество, а также быть замкнутым относительно операций произвольного объединения и конечного пересечения своих элементов.

Пример

Рассмотрим множество X={a,b,c} и выберем в нём фиксированную точку «a». Чтобы построить топологию выделенной точки, нужно включить в неё пустое множество ∅, всё множество X и все подмножества X, содержащие элемент «a».

• Пустое множество: ∅
• Всё множество: X={a,b,c}
• Подмножества, содержащие «a»: {a}, {a,b}, {a,c}

В итоге получаем следующее семейство множеств:

$$ T=\{ ∅, \{ a \}, \{ a,b \}, \{ a,c \}, \{a,b,c \} \} $$

Эта система множеств действительно образует топологию. Она включает пустое множество и всё множество X, а также остаётся замкнутой относительно операций объединения и пересечения.

• Поскольку все множества из T, кроме пустого, содержат выделенную точку «a», объединение любых таких множеств также содержит «a» и, следовательно, принадлежит T.
• Аналогично, пересечение любого конечного числа множеств из T (за исключением пересечения с ∅) также содержит хотя бы элемент «a».

Таким образом, семейство T удовлетворяет всем условиям и представляет собой корректную топологию выделенной точки.