Плотные множества в топологическом пространстве
В топологическом пространстве X подмножество A называется плотным, если его замыкание совпадает со всем пространством X, то есть $$ Cl(A)=X $$
Проще говоря, плотное множество «заполняет» пространство настолько, что в нём нет точек, полностью отделённых от этого множества. Любая точка либо принадлежит A, либо может быть сколь угодно точно приближена его элементами.
Замыкание множества A включает все его точки, а также все его предельные точки, то есть те точки, к которым можно приблизиться элементами множества.
Примеры
Пример 1
В стандартной топологии на \( \mathbb{R} \) множество рациональных чисел (\( \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)) является плотным.
Причина в том, что между любыми двумя различными действительными числами всегда существует рациональное число. Это означает, что рациональные числа «распределены» по всей числовой прямой без разрывов.
Поэтому любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами, и замыкание множества рациональных чисел совпадает со всем пространством:
$$ Cl ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} $$
Следовательно, множество \( \mathbb{Q} \) плотно в \( \mathbb{R} \).
Примечание. Тот же результат верен и для множества иррациональных чисел \( \mathbb{I} \subset \mathbb{R} \). Любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить иррациональными числами, поэтому $$ Cl ( \mathbb{I} ) = \mathbb{R} $$
Пример 2
В топологии с конечным дополнением на \( \mathbb{R} \) множество \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) также является плотным.
В этой топологии множество считается открытым, если его дополнение конечно. В нашем случае дополнение состоит всего из одной точки \{0\}, поэтому множество \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) является открытым.
Чтобы понять, чему равно его замыкание, достаточно заметить, что добавление единственной недостающей точки 0 даёт всё пространство \( \mathbb{R} \).
Следовательно,
$$ Cl( \mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} $$
и это множество является плотным.
Примечание. Этот пример хорошо иллюстрирует особенность топологии с конечным дополнением: любое бесконечное множество в ней оказывается плотным. Причина в том, что замкнутыми здесь являются только конечные множества, а значит, единственное замкнутое множество, способное содержать бесконечное множество, это всё пространство \( \mathbb{R} \).
Пример 3
В стандартной топологии на \( \mathbb{R} \) интервал (0,1) не является плотным.
Его замыкание равно отрезку [0,1], поскольку к интервалу добавляются граничные точки 0 и 1. Любая окрестность этих точек пересекается с интервалом (0,1), поэтому они входят в замыкание.
Однако полученное множество [0,1] не совпадает со всем \( \mathbb{R} \).
Следовательно, интервал (0,1) не является плотным в \( \mathbb{R} \).
Примечание. Если же рассматривать интервал (0,1) как подмножество пространства [0,1] с индуцированной топологией, ситуация меняется. В этом случае его замыкание совпадает со всем [0,1], и интервал становится плотным. Это показывает, что свойство плотности зависит от того, в каком пространстве рассматривается множество.
И так далее.
