Объединение открытых множеств в факторной топологии

Пусть $ \{U_i\} $ является семейством открытых множеств в факторной топологии Q. Тогда прообраз объединения этих множеств совпадает с объединением их прообразов, причём каждый прообраз является открытым множеством в исходном топологическом пространстве X. $$ p^{-1}( \bigcup U_i ) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Поскольку объединение открытых множеств остаётся открытым, их объединение также является открытым множеством в факторной топологии.

Наглядный пример

Чтобы лучше понять это свойство, рассмотрим классический пример из топологии.

Возьмём множество вещественных чисел $ \mathbb{R} $ и фактор-отображение $ p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, которое каждому числу $ x \in \mathbb{R} $ сопоставляет его класс эквивалентности по модулю 1.

На практике это означает, что все числа, отличающиеся на целое число, рассматриваются как одна и та же точка. Иными словами, отображение сохраняет только дробную часть числа.

Например, числа 0.3, 1.3, 2.3, 3.3 и так далее переходят в одну и ту же точку фактор-пространства.

example

Поэтому пространство $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ удобно представлять как окружность. Для наглядности её можно описать интервалом [0,1), в котором точки 0 и 1 считаются эквивалентными.

Теперь рассмотрим два открытых множества в фактор-пространстве $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $:

$ U_1 = (0.1, 0.4) $
$ U_2 = (0.6, 0.8) $

Оба множества открыты в факторной топологии на $ Q $.

Посмотрим, что происходит при их объединении.

Прообраз множества $ U_1 $ относительно отображения $ p $ состоит из бесконечного набора одинаковых интервалов, повторяющихся через каждую единицу:

\[ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.4) \cup (1.1, 1.4) \cup (2.1, 2.4) \cup \dots \]

Аналогично, для множества $ U_2 $ получаем:

\[ p^{-1}(U_2) = (0.6, 0.8) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots \]

Теперь объединим множества $ U_1 $ и $ U_2 $:

$$ U_1 \cup U_2 = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) $$

Согласно общему свойству прообразов, прообраз объединения равен объединению прообразов:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

Подставляя найденные прообразы, получаем:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) \cup (1.1, 1.4) \cup (1.6, 1.8) \cup \dots $$

Мы видим, что этот прообраз представляет собой объединение открытых интервалов в $ \mathbb{R} $. Поскольку объединение любого числа открытых множеств остаётся открытым, полученное множество открыто в стандартной топологии на $ \mathbb{R} $.

Следовательно, объединение $ U_1 \cup U_2 $ также является открытым множеством в факторной топологии пространства $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Этот пример наглядно показывает общий принцип: в факторной топологии объединение любого семейства открытых множеств всегда остаётся открытым, поскольку его прообраз в исходном пространстве является объединением открытых множеств.