Топология верхних промежутков

В топологии верхних промежутков открытым множеством считается любое объединение правых полуоткрытых интервалов вида (a, b], где a < b.

Проще говоря, такой интервал включает свою верхнюю границу, но не содержит нижнюю. Это делает топологию верхних промежутков интересным примером того, как можно по-разному определить понятие «открытости» множества.

Формально базис этой топологии задаётся так:

$$ B = \{ (a,b] \subset R \ | \ a \lt b \} $$

Каждый элемент базиса определяется тем, что верхняя граница интервала входит в множество, а нижняя - нет.

Замечание. Эту топологию часто сопоставляют с топологией нижних промежутков, где, наоборот, открытые множества имеют вид [a,b) и включают нижнюю границу. Такое сравнение помогает понять, насколько выбор базисных множеств влияет на то, что именно мы называем «открытым» в разных топологиях.

Топология верхних промежутков играет заметную роль в общей топологии. Она показывает, что небольшое изменение в формулировке может привести к новым свойствам и неожиданным результатам. Это хороший пример того, как разные топологии на одном и том же множестве могут вести себя совершенно по-разному.

Пример

Возьмём множество действительных чисел R и зададим на нём топологию, в которой открытыми считаются правые полуоткрытые интервалы.

Например: (1,3], (2,6], (-3,5] и т. д.

Совокупность всех таких интервалов образует базис топологии верхних промежутков. В каждом интервале верхняя граница принадлежит множеству, а нижняя не входит в него.

Этот пример помогает увидеть, как меняется привычное представление об «открытых» множествах, если изменить всего одно условие.