Разница между более сильной и более слабой топологией

Когда на одном и том же множестве задают две топологии, их можно сравнивать по тому, насколько богата каждая из них открытыми множествами. Для этого используют пару терминов: «более сильная топология» и «более слабая топология». Эти термины позволяют сразу понять, какая топология предоставляет больше возможностей для анализа и работы с пространством.

Более сильная топология
Такая топология включает больше открытых множеств. Она задает более тонкую структуру пространства и открывает больше вариантов для описания его свойств.
Более слабая топология
Содержит меньше открытых множеств. Это более простая, сдержанная структура, которая оставляет меньше степени свободы.

Простой пример
Как это влияет на непрерывность
Первый пример функции
Второй пример

Простой пример

Возьмем множество $ X = \{a, b\} $ и рассмотрим две топологии:

$ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $. Здесь открыто только пустое множество и всё пространство. Это тривиальная топология.
$ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} $. В ней появляется дополнительное открытое множество $ \{a\} $.

Топология $ \tau_2 $ более сильная, потому что её открытых множеств больше. Топология $ \tau_1 $ соответственно более слабая.

Как это влияет на непрерывность

Если функция непрерывна в более слабой топологии, она автоматически будет непрерывна и в более сильной. А вот обратное справедливо не всегда.

Объяснение простое. Чтобы функция была непрерывной, прообраз каждого открытого множества должен быть открытым. В более сильной топологии таких множеств больше, следовательно, и проверять приходится больше. В более слабой топологии всё проще.

Отсюда вывод: непрерывность в слабой топологии гарантирует непрерывность в сильной. Но непрерывность в сильной топологии еще не означает непрерывность в слабой.

Первый пример функции

Возьмем множество $ X = \{a, b\} $ с топологиями $ \tau_1 $ и $ \tau_2 $ и рассмотрим функцию:

$$ f(a) = 1, \quad f(b) = 1 $$

Это постоянная функция, и она оказывается непрерывной в более сильной топологии $ \tau_2 $. Прообраз множества $ \{1\} $ равен $ \{a, b\} $, а оно открыто в $ \tau_2 $. Пустое множество тоже открыто.

В более слабой топологии $ \tau_1 $ проверка еще проще: нужно рассмотреть лишь два множества, и оба условия выполняются. Поэтому функция непрерывна в обеих топологиях.

Второй пример

Теперь рассмотрим функцию $ g : X \to Y $:

$$ g(a) = 1, \quad g(b) = 2 $$

В более сильной топологии $ \tau_2 $ всё хорошо: прообразы всех открытых множеств, которые могут возникнуть, оказываются открытыми. Поэтому $ g $ непрерывна в $ \tau_2 $.

Но ситуация меняется, если перейти к более слабой топологии $ \tau_1 $. Прообраз множества $ \{1\} $ равен $ \{a\} $, и это множество уже не открыто в $ \tau_1 $. Значит, $ g $ не является непрерывной в более слабой топологии.

Этот пример ясно показывает, как различие между сильной и слабой топологиями влияет на свойства функций. Чем богаче топология, тем строже проверка непрерывности, но и тем больше возможностей корректно описывать поведение функций.

Можно рассматривать и более сложные случаи, но общий принцип остаётся тем же.