Karakterisasi Himpunan Tertutup
Dalam topologi, suatu himpunan \( A \) dikatakan tertutup jika dan hanya jika penutup (closure) dari himpunan tersebut bertepatan dengan \( A \) itu sendiri di dalam suatu ruang topologi. Secara simbolik berlaku: $$ A = \text{Cl}(A) $$
Contoh Praktis
Sebagai contoh konkret, mari kita bekerja pada ruang topologi \( \mathbb{R} \) yang dilengkapi dengan topologi standar, dan kita tinjau himpunan \( A = [0, 1] \).
Dalam konteks ini, sebuah himpunan disebut tertutup apabila ia memuat seluruh titik limitnya. Untuk himpunan \( A = [0, 1] \), titik-titik limitnya adalah semua titik di antara \( 0 \) dan \( 1 \), termasuk kedua ujung interval.
Karena semua titik tersebut memang termasuk dalam \( A \), maka himpunan \( A \) adalah himpunan tertutup.
Selanjutnya, kita dapat memeriksa karakterisasi di atas dengan melihat apakah benar bahwa \( A = \text{Cl}(A) \).
Dalam topologi standar, penutup dari \( A \) tidak menambahkan titik baru, sehingga diperoleh \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \).
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Hasil ini menunjukkan bahwa himpunan \( A = [0, 1] \) tertutup karena ia berimpit dengan penutupnya sendiri.
Dengan demikian, contoh ini memperjelas bahwa suatu himpunan \( A \) bersifat tertutup jika dan hanya jika \( A = \text{Cl}(A) \).
Bukti
Untuk memahami hasil ini secara lebih mendalam, kita mulai dari definisi-definisi dasar dalam topologi.
- Penutup (closure): Penutup dari suatu himpunan \( A \), yang dilambangkan dengan \( \text{Cl}(A) \), adalah himpunan yang terdiri atas semua titik dalam \( A \) beserta seluruh titik limitnya. Secara formal dituliskan sebagai berikut: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{ setiap lingkungan dari x memuat suatu titik dari A } \} \]
- Himpunan tertutup: Suatu himpunan \( A \) disebut tertutup apabila ia memuat semua titik limitnya. Pernyataan ini setara dengan syarat \( A = \text{Cl}(A) \).
Kita sekarang membuktikan kesetaraan tersebut dengan menunjukkan implikasi ke dua arah.
1] Jika \( A \) tertutup, maka \( A = \text{Cl}(A) \)
Andaikan \( A \) merupakan himpunan tertutup. Berdasarkan definisi, hal ini berarti bahwa semua titik limit dari \( A \) sudah termasuk di dalam \( A \).
Akibatnya, tidak ada titik limit dari \( A \) yang berada di luar himpunan tersebut.
Karena penutup dari \( A \) didefinisikan sebagai gabungan antara \( A \) dan semua titik limitnya, maka secara langsung diperoleh:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{titik-titik limit dari A} \} = A $$
Dengan demikian, terbukti bahwa \( A = \text{Cl}(A) \).
2] Jika \( A = \text{Cl}(A) \), maka \( A \) tertutup
Sebaliknya, jika \( A = \text{Cl}(A) \), ini berarti bahwa tidak ada titik limit dari \( A \) yang berada di luar \( A \).
Dengan kata lain, \( A \) telah memuat seluruh titik limitnya.
Sesuai dengan definisi himpunan tertutup, kesimpulannya adalah bahwa \( A \) memang merupakan himpunan tertutup.
