حدّ المجموعة

في الطوبولوجيا، يُعرَّف حدّ مجموعة جزئية \( A \) ضمن فضاء طوبولوجي \( X \) بأنه مجموعة النقاط التي تنتمي إلى إغلاق \( A \) ولا تنتمي إلى داخلها: \[ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) \]

يمثّل \( \text{Cl}(A) \) إغلاق المجموعة، أي جميع نقاط \( A \) إضافةً إلى نقاط التراكم.

أما \( \text{Int}(A) \) فهو داخل المجموعة، ويتكوّن من النقاط التي تمتلك جوارًا محتوى بالكامل في \( A \).

حدّ المجموعة ليس خاصية مطلقة للمجموعة وحدها، بل يعتمد على الطوبولوجيا المفروضة على الفضاء \( X \). لذلك، قد يتغيّر الحدّ عند تغيير البنية الطوبولوجية.

بصياغة حدسية، يتكوّن الحدّ من النقاط التي تكون قريبة من \( A \) ومن متممتها \( X \setminus A \) في الوقت نفسه.

مثال تطبيقي على المستقيم الحقيقي

لنعتبر \( A = (0, 1) \subset \mathbb{R} \) في الطوبولوجيا القياسية.

إغلاق المجموعة

كل نقطة داخل الفترة المفتوحة هي نقطة تراكم، كما أن 0 و1 نقطتا تراكم. إذن: \[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]

داخل المجموعة

جميع نقاط \( (0, 1) \) داخلية، ومن ثم: \[ \text{Int}(A) = (0, 1) \]

حدّ المجموعة

\[ \partial A = [0, 1] - (0, 1) = \{0, 1\} \]

إذن، حدّ الفترة المفتوحة \( (0,1) \) هو النقطتان 0 و1.

مبرهنة الحدّ

تنتمي نقطة \( x \) إلى حدّ مجموعة \( A \) إذا وفقط إذا كان كل جوار لـ \( x \) يتقاطع مع \( A \) ومع متممتها \( X \setminus A \).

توفّر هذه المبرهنة معيارًا عمليًا لاختبار ما إذا كانت نقطة ما حدّية.

تطبيق المبرهنة

بالنسبة إلى \( A = (0, 1) \):

النقطة 0

أي جوار لـ 0 يحتوي نقاطًا من \( A \) ونقاطًا من خارجها. إذن \( 0 \in \partial A \).

النقطة 1

ينطبق نفس التحليل. إذن \( 1 \in \partial A \).

نقطة داخلية مثل 0.5

يوجد جوار محتوى بالكامل في \( A \). إذن \( 0.5 \notin \partial A \).

النتيجة تؤكد أن حدّ \( (0,1) \) هو \(\{0,1\}\).

ملاحظات وخصائص أساسية

• \( \partial A \subseteq A \) إذا وفقط إذا كانت \( A \) مغلقة
  \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ مجموعة مغلقة} \]
• \( \partial A \cap A = \emptyset \) إذا وفقط إذا كانت \( A \) مفتوحة
  \[ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ مجموعة مفتوحة} \]
• \( \partial A = \emptyset \) إذا وفقط إذا كانت \( A \) مفتوحة ومغلقة معًا
  \[ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ مجموعة مفتوحة ومغلقة} \]
• صيغة مكافئة للحدّ
  \[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]
• حدّ أي مجموعة هو دائمًا مجموعة مغلقة

  لأنه يُمثَّل كتقاطع مجموعتين مغلقتين.

• لا يوجد تقاطع بين الحدّ والداخل
  \[ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset \]
• اتحاد الحدّ والداخل يساوي الإغلاق
  \[ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) \]

وغير ذلك من النتائج المرتبطة ببنية الفضاءات الطوبولوجية.