الطوبولوجيا ذات المتمّمات المنتهية
الطوبولوجيا ذات المتمّمات المنتهية هي نوع من البنى الطوبولوجية على مجموعة X، تُعتبر فيها أي مجموعة "مفتوحة" إذا كان متمّمها منتهيًا، أي لا يحتوي إلا على عدد محدود من العناصر.
بعبارة أخرى، كل مجموعة يكون متمّمها منتهيًا تُعد مجموعة مفتوحة ضمن هذه الطوبولوجيا.
ومن النتائج المباشرة لهذا التعريف أن كل مجموعة منتهية تُعد مغلقة، لأن المجموعة المغلقة هي ببساطة تلك التي يكون متمّمها مفتوحًا.
كما تُعد كلٌّ من المجموعة الخالية والمجموعة الكلية "مفتوحتين ومغلاقتين في الوقت نفسه"، وهي خاصية نجدها في كل طوبولوجيا تقريبًا.
ما المقصود بالبنية الطوبولوجية؟ في علم الطوبولوجيا، يُطلق مصطلح "البنية الطوبولوجية" (أو "الطوبولوجيا") على نظام من المجموعات الجزئية داخل مجموعة معينة، يخضع لشروط محددة تسمح بتعريف مفاهيم عامة مثل الاستمرارية والحد والقرب بطريقة رياضية دقيقة.
من المهم أن نلاحظ أن الطوبولوجيا ذات المتمّمات المنتهية ليست خاصية في المجموعات نفسها، بل هي طريقة لتحديد المجموعات المفتوحة وفق قاعدة تعتمد على متمّم كل مجموعة.
يُستخدم هذا النوع من الطوبولوجيا غالبًا مع مجموعة الأعداد الحقيقية (ℝ)، أو ما يُعرف بخط الأعداد الحقيقي، لكنه ينطبق أيضًا على أي مجموعة أخرى باتباع القاعدة نفسها.
ففي هذه الطوبولوجيا، تُعد أي مجموعة تُحذف منها مجموعة منتهية من عناصر خط الأعداد الحقيقي مجموعة مفتوحة.
لماذا هي مهمة؟ تساعد الطوبولوجيا ذات المتمّمات المنتهية على فهم كيف يمكن لمجموعة واحدة أن تحمل طوبولوجيات مختلفة، بحيث يضيف كل تعريف طوبولوجي خصائص جديدة للفضاء نفسه.
مثال توضيحي
لنفترض أن لدينا المجموعة V التي تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية باستثناء الأعداد 1، 2، 4، و8.
$$ V = \mathbb{R} - \{1, 2, 4, 8\} $$
متمّم هذه المجموعة هو \( \{1, 2, 4, 8\} \)، وهو مكوَّن من أربعة عناصر فقط، أي أنه منتهٍ.
$$ C_V = \{1, 2, 3, 4\} $$
وبحسب تعريف الطوبولوجيا ذات المتمّمات المنتهية، فإن المجموعة V تُعتبر مجموعة مفتوحة.
ملاحظة: في هذه الطوبولوجيا، تكون المجموعة مفتوحة إذا كان متمّمها منتهيًا.
مثال إضافي
يمكننا تكوين مجموعات مفتوحة عديدة بنفس المبدأ. إذا حذفنا عددًا منتهيًا من الأعداد الحقيقية، فستكون المجموعة الناتجة دائمًا مفتوحة. مثلًا، المجموعات \( \mathbb{R} - \{0\} \)، و\( \mathbb{R} - \{-5, \sqrt{2}\} \)، و\( \mathbb{R} - \{\pi, e, -1\} \) كلها أمثلة على مجموعات مفتوحة في الطوبولوجيا ذات المتمّمات المنتهية على \( \mathbb{R} \).
بهذه الطريقة نرى كيف تقدم هذه الطوبولوجيا منظورًا مختلفًا لفهم الفضاءات الرياضية.
