حدّ المجموعة
تنتمي النقطة \( x \) إلى حدّ مجموعة \( A \) إذا كان كل جوار للنقطة \( x \) يتقاطع مع كل من المجموعة \( A \) ومتممتها \( X - A \).
بصيغة أبسط، تكون النقطة \( x \) على حدّ المجموعة \( A \) عندما لا يمكن إيجاد جوار لها يقع بالكامل داخل \( A \) أو بالكامل خارجها. أي إن كل جوار حول هذه النقطة يحتوي دائماً على نقاط من \( A \) ونقاط من خارجها.
مثال عملي
لنفهم الفكرة بشكل أوضح، لننظر إلى مثال بسيط.
لنعتبر المجموعة \( A = (0, 1) \) على خط الأعداد الحقيقية \( \mathbb{R} \).
في هذا المثال تكون النقطتان 0 و1 على حدّ المجموعة \( A \). والسبب أن أي جوار حول هاتين النقطتين يحتوي دائماً على جزء داخل الفترة \( (0,1) \) وجزء خارجها.
- النقطة 1
لنأخذ جواراً من الشكل \( (1-\epsilon, 1+\epsilon) \) حيث تكون \( \epsilon \) صغيرة جداً. هذا الجوار يحتوي على الجزء \( (1-\epsilon,1) \) داخل \( (0,1) \) وعلى الجزء \( (1,1+\epsilon) \) خارج \( (0,1) \). لذلك فإن النقطة 1 تُعدّ نقطة حدّ للمجموعة \( A \).
- النقطة 0
وبالطريقة نفسها، إذا أخذنا جواراً من الشكل \( (0-\epsilon, 0+\epsilon) \) حيث تكون \( \epsilon \) صغيرة جداً، فإن هذا الجوار يحتوي على جزء \( (0,0+\epsilon) \) داخل \( (0,1) \) وجزء \( (0-\epsilon,0) \) خارج \( (0,1) \). لذلك فإن النقطة 0 هي أيضاً نقطة حدّ للمجموعة \( A \).
- نقطة داخل الفترة (0,1)
إذا كانت النقطة \( x \) داخل الفترة \( (0,1) \)، فيمكن اختيار جوار صغير \( (x-\epsilon, x+\epsilon) \) يقع بالكامل داخل \( (0,1) \). لذلك فإن النقاط الواقعة داخل الفترة ليست نقاطاً حدّية.
- نقطة خارج الفترة (0,1)
أما إذا كانت النقطة خارج الفترة \( (0,1) \) وليست 0 أو 1، فيمكن اختيار جوار صغير حولها يقع بالكامل خارج \( (0,1) \). لذلك فإن هذه النقاط ليست نقاطاً حدّية للمجموعة \( A \).
إذن فإن نقاط حدّ المجموعة \( A \) هي:
$$ \partial A = \{0,1 \} $$
باختصار، النقطة تكون على حدّ مجموعة عندما يكون كل جوار لها مختلطاً، أي يحتوي دائماً على نقاط من المجموعة ونقاط من خارجها.
البرهان
سنبرهن النتيجة عبر اتجاهين منطقيين.
1] إذا كانت \( x \) نقطة حدّ للمجموعة \( A \)
لنفرض أن
$$ x \in \partial A $$
هذا يعني أن النقطة تنتمي إلى إغلاق المجموعة ولا تنتمي إلى داخلها:
\( x \in \text{Cl}(A) \) و \( x \notin \text{Int}(A) \).
بما أن \( x \in \text{Cl}(A) \)، فإن كل جوار للنقطة \( x \) يتقاطع مع \( A \).
ولأن \( x \notin \text{Int}(A) \)، فلا يمكن لأي جوار حول \( x \) أن يكون محتوى بالكامل داخل \( A \). وبالتالي يجب أن يتقاطع أيضاً مع \( X - A \).
إذن كل جوار للنقطة \( x \) يتقاطع مع كل من \( A \) و \( X - A \).
2] إذا كان كل جوار للنقطة \( x \) يتقاطع مع \( A \) و \( X-A \)
لنفرض الآن أن كل جوار للنقطة \( x \) يتقاطع مع المجموعتين \( A \) و \( X - A \).
هذا يعني أن النقطة تنتمي إلى إغلاق كلتا المجموعتين:
\( x \in \text{Cl}(A) \) و \( x \in \text{Cl}(X-A) \).
وبما أن
\( \text{Cl}(X-A) = X - \text{Int}(A) \)
فإننا نستنتج أن \( x \notin \text{Int}(A) \).
وبالتالي
\( x \in \text{Cl}(A) \) و \( x \notin \text{Int}(A) \).
ومن ثم نحصل على
\( x \in \partial A \).
وهذا يثبت أن النقطة \( x \) هي نقطة حدّ للمجموعة \( A \).
