نقاط التراكم في الطوبولوجيا

تُسمّى النقطة $x$ في الفضاء الطوبولوجي $X$ نقطة تراكم لمجموعة جزئية $A \subseteq X$ إذا كان كل جوار للنقطة $x$ يحتوي على نقطة واحدة على الأقل من المجموعة $A$ تختلف عن $x$ نفسها.

بمعنى آخر، مهما اخترنا جوارًا صغيرًا حول النقطة $x$، سنجد داخله نقاطًا من المجموعة $A$ قريبة من $x$.

ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا بالصيغة التالية:

$$ U \cap A \not = \emptyset $$

حيث يمثّل $U$ أي جوار للنقطة $x$.

ومن المهم ملاحظة أنّ نقطة التراكم لا يلزم أن تكون عنصرًا من عناصر المجموعة $A$.

في الفضاء الحقيقي $\mathbb{R}$، يكون مفهوم نقطة التراكم سهل التصور نسبيًا. فعلى مستقيم الأعداد، تكون النقطة $x$ نقطة تراكم لمجموعة $A$ إذا كان كل مجال مفتوح من الشكل $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ يحتوي على نقاط من $A$ غير النقطة $x$ نفسها.
مثال على نقطة تراكم على مستقيم الأعداد
ويمتد هذا المفهوم إلى الفضاءات متعددة الأبعاد $\mathbb{R}^n$. ففي هذه الحالة، تكون النقطة $x$ نقطة تراكم للمجموعة $A$ إذا كان كل جوار لها يتقاطع مع $A$ في نقطة واحدة على الأقل غير $x$. وقد يبدو هذا التعريف أكثر تجريدًا مقارنة بالحالة أحادية البعد.

أمثلة تطبيقية
ملاحظات

أمثلة تطبيقية

لنعتبر المجموعة $A$ مجموعة جزئية من $\mathbb{R}$ مزودة بالطوبولوجيا المعتادة:

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

أي إنّ عناصر المجموعة هي:

$$ \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \right\} $$

نريد معرفة ما إذا كانت النقطة $0$ نقطة تراكم للمجموعة $A$.

لنأخذ أي جوار مفتوح $U$ للنقطة $0$. سيحتوي هذا الجوار على مجال مفتوح $(a,b)$ بحيث:

$$ a < 0 < b $$

وبما أنّ المتتالية $\frac{1}{n}$ تؤول إلى الصفر عندما يزداد $n$، فيمكن دائمًا إيجاد عنصر من عناصر المجموعة $A$ داخل المجال $(a,b)$ إذا اخترنا $n$ كبيرة بما يكفي.

إذن فإن كل جوار للنقطة $0$ يحتوي على نقاط من $A$ غير $0$، ولذلك تُعَدّ $0$ نقطة تراكم للمجموعة $A$.

مثال على نقطة تراكم

المثال 2

لنعتبر الآن المجموعة:

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

أي:

$$ \{2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots \} $$

لنفحص النقطة $1$.

كل جوار مفتوح للنقطة $1$ يحتوي على مجال مفتوح $(a,b)$ بحيث:

$$ a < 1 < b $$

لكن جميع عناصر المجموعة $B$ أكبر من $1$، وبالتالي يمكن اختيار جوار حول $1$ لا يحتوي على أي نقطة من $B$.

لذلك فإن $1$ ليست نقطة تراكم للمجموعة $B$.

المثال 3

لنعتبر المجموعة:

$$ (0,1] $$

وهي مجموعة جزئية من $\mathbb{R}$ مزودة بالطوبولوجيا المعتادة.

نريد تحديد جميع نقاط التراكم لهذه المجموعة.

النقاط داخل المجال (0,1]
إذا كانت $x \in (0,1]$، فإن أي جوار للنقطة $x$ يحتوي على نقاط أخرى من المجال $(0,1]$. ولهذا فإن كل نقطة داخل المجال تُعَدّ نقطة تراكم.
النقطتان الحدّيتان 0 و1
- النقطة $0$: رغم أنّ $0$ لا تنتمي إلى المجال $(0,1]$، فإن أي جوار لها يحتوي على أعداد موجبة صغيرة جدًا تنتمي إلى المجموعة. لذلك فإن $0$ نقطة تراكم.

- النقطة $1$: كل جوار للنقطة $1$ يحتوي على أعداد أصغر قليلًا من $1$ وتنتمي إلى المجال $(0,1]$. لذلك فإن $1$ أيضًا نقطة تراكم.
النقاط خارج المجال [0,1]
إذا كانت $x < 0$ أو $x > 1$، فيمكن إيجاد جوار حول $x$ لا يتقاطع إطلاقًا مع المجموعة $(0,1]$.
فعلى سبيل المثال، إذا كان $x < 0$، يمكن اختيار مجال مفتوح من الشكل $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ بحيث يكون بعيدًا تمامًا عن $(0,1]$. والأمر نفسه ينطبق عندما تكون $x > 1$. لذلك فإن أي نقطة خارج $[0,1]$ ليست نقطة تراكم للمجموعة $(0,1]$.

وبالتالي فإن جميع نقاط التراكم للمجموعة $(0,1]$ هي النقاط الواقعة داخل المجال المغلق:

$$ [0,1] $$

المثال 4

لنحدّد الآن نقاط التراكم للمجموعة:

$$ A = (0,1] $$

في طوبولوجيا الحد السفلي على $\mathbb{R}$.

في هذه الطوبولوجيا، تتولّد المجموعات المفتوحة من المجالات نصف المفتوحة من الشكل $[a,b)$، حيث $a < b$.

أي إن الجوار النموذجي للنقطة $x$ يكون من الشكل:

$$ [x, x+\epsilon) $$

لنفحص الحالات المختلفة:

إذا كانت $x \in (0,1)$
فإن أي جوار من الشكل $[x, x+\epsilon)$ يحتوي على نقاط من $A$، ولذلك تكون $x$ نقطة تراكم.
إذا كانت $x = 1$
فإن الجوار $[1,1+\epsilon)$ يحتوي على النقطة $1$ نفسها فقط، ولا يحتوي على نقاط أخرى من المجموعة $A$. لذلك فإن $1$ ليست نقطة تراكم في هذه الطوبولوجيا.
إذا كانت $x = 0$
فإن أي جوار من الشكل $[0,\epsilon)$ يحتوي على نقاط موجبة صغيرة تنتمي إلى $A$، ولذلك فإن $0$ نقطة تراكم.
إذا كانت $x < 0$ أو $x > 1$
في هذه الحالة يمكن إيجاد جوار لا يتقاطع مع $A$، ولذلك لا تكون هذه النقاط نقاط تراكم.

وعليه فإن مجموعة نقاط التراكم للمجموعة $A=(0,1]$ في طوبولوجيا الحد السفلي هي:

$$ [0,1) $$

ملاحظات

إغلاق المجموعة يساوي اتحادها مع مجموعة نقاط تراكمها
إذا كانت $A$ مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي $X$، فإن إغلاقها يُعطى بالعلاقة: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ حيث تمثل $A'$ مجموعة نقاط التراكم الخاصة بـ$A$.
المتتاليات قد تتقارب إلى نقاط التراكم
إذا كانت $x$ نقطة تراكم للمجموعة $A$، فيمكن غالبًا إيجاد متتالية من عناصر $A$ تتقارب نحو $x$. ولا يشترط أن تكون $x$ عنصرًا من عناصر المجموعة نفسها.
فرادية النهاية
في الطوبولوجيا المعتادة على $\mathbb{R}$، إذا كانت متتالية تتقارب، فإن نهايتها تكون وحيدة. غير أنّ هذه الخاصية تعتمد على نوع الطوبولوجيا المستعملة، ولذلك قد لا تتحقق في فضاءات طوبولوجية أخرى.

وهناك خصائص وملاحظات أخرى مرتبطة بنقاط التراكم في الطوبولوجيا.