مثال في الطوبولوجيا

في هذا المثال سنحاول تحديد جميع الطوبولوجيات الممكنة على المجموعة X لفهم كيف تُبنى المفاهيم الأساسية في علم الطوبولوجيا بطريقة بسيطة وواضحة.

$$ X = \{ a,b \} $$

لبناء جميع الطوبولوجيات الممكنة على هذه المجموعة الصغيرة، نبدأ بتذكّر تعريف الطوبولوجيا وما الشروط التي يجب أن تحققها.

تعريف الطوبولوجيا. تُعرَّف الطوبولوجيا على مجموعة X بأنها مجموعة T من المجموعات الجزئية لـ X تحتوي على المجموعة الخالية ∅ والمجموعة X نفسها، وتكون مغلقة تحت الاتحادات التعسفية لعناصرها، وكذلك تحت التقاطعات المنتهية بينها.

عندما تكون X={a,b}، فإن جميع المجموعات الجزئية الممكنة لها هي:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

أي أن المجموعة X نفسها هي {a,b}.

بناءً على هذا، فإن أي طوبولوجيا T على X يجب أن تحتوي دائماً على المجموعة الخالية ∅ والمجموعة الكاملة X={a,b}.

الآن لنستعرض جميع التركيبات الممكنة لهذه المجموعات الجزئية التي تحقق شروط الطوبولوجيا:

1. الطوبولوجيا التافهة (أو الدنيا)، وهي التي تحتوي فقط على المجموعة الخالية والمجموعة الكاملة: $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
2. الطوبولوجيا التي تتضمن، بالإضافة إلى عناصر الطوبولوجيا التافهة، المجموعة الجزئية {a}: $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
3. الطوبولوجيا التي تتضمن، بالإضافة إلى عناصر الطوبولوجيا التافهة، المجموعة الجزئية {b}: $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
4. الطوبولوجيا المنفصلة (أو القصوى)، وهي التي تحتوي على جميع المجموعات الجزئية الممكنة من X: $$ T_4=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$

هذه هي جميع الطوبولوجيات الممكنة على المجموعة X.

تُعتبر الطوبولوجيا التافهة أبسط شكل ممكن، لأنها لا تحتوي إلا على المجموعات الضرورية، بينما تُعد الطوبولوجيا المنفصلة الأكثر شمولاً لأنها تتضمن كل المجموعات الجزئية الممكنة كمجموعات مفتوحة.

بذلك نستنتج أن عدد الطوبولوجيات الممكنة على المجموعة X هو أربع طوبولوجيات فقط.

مثال آخر

لنأخذ الآن مجموعة أكبر قليلاً مكوّنة من ثلاثة عناصر:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

نريد أن نتحقق مما إذا كانت المجموعة التالية من المجموعات الجزئية يمكن أن تُشكّل طوبولوجيا على X:

$$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$

نبدأ بفحص الشرط الأول: هل تحتوي المجموعة على كلٍّ من المجموعة الخالية ∅ والمجموعة الكاملة X={1,2,3}؟

نعم، الشرط متحقق، إذ إن كلتا المجموعتين موجودتان.

الخطوة التالية هي التحقق من خاصية الإغلاق تحت عملية الاتحاد. عند اتحاد {a}∪{b} نحصل على {a,b}، وهي غير موجودة ضمن T:

$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ ∉ T $$

هذا يعني أن المجموعة T لا تحقق شروط الطوبولوجيا على X لأنها ليست مغلقة تحت عملية الاتحاد.

ولذلك لا حاجة للتحقق من خاصية التقاطع، لأن فشل أحد الشروط كافٍ لإثبات أنها ليست طوبولوجيا.

بهذه الطريقة يمكن اختبار أي مجموعة من المجموعات الجزئية لتحديد ما إذا كانت تشكّل طوبولوجيا أم لا.