يكون حدّ المجموعة A محتوى في A إذا وفقط إذا كانت A مجموعةً مغلقة
يكون حدّ المجموعة \( \partial A \) للمجموعة \( A \) محتوى في \( A \) إذا وفقط إذا كانت \( A \) مجموعةً مغلقة. \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ مجموعة مغلقة} \]
مثال توضيحي
المثال 1
لنأخذ المجموعة \( A \) التي تمثّل قرصًا مغلقًا نصف قطره 1 ومركزه نقطة الأصل في الفضاء الإقليدي \(\mathbb{R}^2\).
$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} $$
في هذه الحالة يكون حدّ \( A \) هو محيط الدائرة ذات نصف القطر 1:
$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$
بما أن \( A \) قرص مغلق فإنه يحتوي جميع نقاط حدّه، أي جميع النقاط الواقعة على محيط الدائرة.
$$ \partial A \subseteq A $$
ومن ثم نستنتج أن \( A \) مجموعة مغلقة.
المثال 2
لنأخذ الآن المجموعة \( B \) التي تمثّل قرصًا مفتوحًا نصف قطره 1 ومركزه نقطة الأصل:
$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} $$
يبقى حدّ \( B \) هو نفسه محيط الدائرة ذات نصف القطر 1:
$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$
لكن \( B \) في هذه الحالة لا تحتوي حدّها، لأنها معرّفة على أنها قرص مفتوح. لذلك فإن نقاط المحيط لا تنتمي إلى المجموعة.
$$ \partial B \nsubseteq B $$
وهذا يبيّن أن \( B \) ليست مجموعة مغلقة.
توضّح هذه الأمثلة فكرة أساسية في الطوبولوجيا: فالمجموعة المغلقة تحتوي جميع نقاط حدّها، بينما المجموعة المفتوحة لا تحتوي تلك النقاط.
البرهان
سنقسّم البرهان إلى جزأين لإظهار التكافؤ بين العبارتين.
1] إذا كان حدّ A محتوى في A فإن A مجموعة مغلقة
لنفرض أن \[ \partial A \subseteq A \] أي أن جميع نقاط الحدّ تنتمي إلى المجموعة \( A \).
يُعرَّف حدّ المجموعة بالعلاقة \[ \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \] حيث تمثّل \( \overline{A} \) إغلاق المجموعة \( A \)، وتمثّل \( \overline{A^c} \) إغلاق متممتها.
وبحسب تعريف الحدّ فإن كل نقطة من \( \partial A \) هي نقطة تراكم للمجموعة \( A \) أو لمتممتها \( A^c \).
إذا كانت جميع نقاط الحدّ تنتمي إلى \( A \)، فهذا يعني أن \( A \) تحتوي نقاط تراكمها. وبحسب تعريف المجموعات المغلقة فإن المجموعة التي تحتوي جميع نقاط تراكمها تكون مجموعة مغلقة.
إذن \( A \) مجموعة مغلقة.
2] إذا كانت A مجموعة مغلقة فإن حدّها محتوى فيها
لنفترض الآن أن \( A \) مجموعة مغلقة. عندئذٍ تكون مساوية لإغلاقها:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
ويُعرَّف حدّ المجموعة بالعلاقة
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
وبما أن \( \text{Cl}(A) = A \) نحصل على
$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$
وهذا يعني أن جميع نقاط الحدّ تنتمي إلى \( A \).
إذن
$$ \partial A \subseteq A $$
3] الخلاصة
توصّلنا إلى النتيجة التالية:
\[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ مجموعة مغلقة} \]
أي أن حدّ المجموعة يكون محتوى فيها إذا وفقط إذا كانت تلك المجموعة مغلقة.
