طوبولوجيا النقطة المستبعَدة (Excluded Point Topology)
طوبولوجيا النقطة المستبعَدة هي نوع خاص من البنى الطوبولوجية على مجموعة X، تُعرَّف باستبعاد نقطة محددة منها تُرمَز بـ p.
تتكوّن هذه الطوبولوجيا من جميع المجموعات الجزئية لـ X التي تحقق الشروط التالية:
- المجموعة الخالية (Ø)
- المجموعة الكاملة X
- كل مجموعة جزئية من X لا تحتوي على النقطة p
بعبارة أبسط، تُعدّ كل مجموعة مفتوحة في طوبولوجيا النقطة المستبعَدة إما المجموعة X نفسها، أو المجموعة الخالية، أو أي مجموعة جزئية لا تضم النقطة p.
وتُعدّ هذه بنية طوبولوجية صحيحة لأنها تفي بالمسلمات الثلاث الأساسية التي تُعرِّف الطوبولوجيا على مجموعة من المجموعات المفتوحة.
ملاحظة. تكتسب هذه الطوبولوجيا أهميتها من بساطتها ومن الفكرة التي تقوم عليها، أي استبعاد نقطة معينة من الفضاء، وهو ما يخلق خصائص طوبولوجية غير متوقعة ومثيرة للتفكير.
مثال توضيحي
افترض أن لدينا مجموعة X مكوّنة من ثلاثة عناصر:
$$ X = \{a, b, c\} $$
نختار النقطة \(p = a\) لتكون النقطة المستبعَدة.
ولتعريف طوبولوجيا النقطة المستبعَدة على X، يجب أن تحتوي على المجموعات التالية:
- المجموعة الخالية Ø
- المجموعة الكاملة X، أي X = {a, b, c}
- جميع المجموعات الجزئية التي لا تشمل العنصر "a"، وهي في هذه الحالة {b}، {c}، {b,c}.
وعليه، فإن طوبولوجيا النقطة المستبعَدة على X تُكتب بالشكل التالي:
$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$
من السهل التحقق من أن هذه البنية تحقق شروط الطوبولوجيا:
- اتحاد أي عدد من هذه المجموعات يبقى عنصراً في T.
على سبيل المثال، \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}\) و \(\{b\} \cup \emptyset = \{b\}\)، وكلاهما ينتمي إلى T.
- تقاطع أي مجموعتين منها يبقى أيضاً عنصراً في T.
على سبيل المثال، \(\{b\} \cap \{c\} = \emptyset\) و \(\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}\)، وكلاهما من عناصر T.
- تحتوي T دائماً على المجموعة الخالية \(\emptyset\) والمجموعة الكاملة X.
تُظهر طوبولوجيا النقطة المستبعَدة كيف يمكن لعملية بسيطة مثل حذف نقطة واحدة من الفضاء أن تغيّر طبيعة المجموعات المفتوحة فيه، وتُنتج نمطاً مختلفاً من الانفتاح داخل المجموعة X.
وهذه الفكرة تُعدّ من الأمثلة الكلاسيكية التي تُستخدم لشرح مفاهيم أساسية في نظرية الطوبولوجيا.
