حدّ المجموعة مجموعة مغلقة دائمًا

يكون حدّ أي مجموعة مجموعةً مغلقة دائمًا، لأنه يُعرَّف على أنه تقاطع إغلاق المجموعة \(A\) مع إغلاق متممتها: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A) $$

في الطوبولوجيا، يُمثّل حدّ المجموعة النقاط التي تفصل بين داخل المجموعة وخارجها. ويمكن تعريف حدّ مجموعة \(A\) داخل فضاء طوبولوجي \(X\) بشكل دقيق على النحو التالي:

\(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X \setminus A)\)

أي أنه يتكوّن من جميع النقاط التي تنتمي في الوقت نفسه إلى إغلاق \(A\) وإلى إغلاق متممتها. ومن هذه الصيغة يظهر مباشرةً أن الحدّ مجموعة مغلقة، لأن تقاطع المجموعات المغلقة يظل مجموعة مغلقة.

مثال يوضح الفكرة

لنأخذ الفضاء \(\mathbb{R}\) بالطوبولوجيا القياسية، حيث تكون المجموعات المفتوحة عبارة عن فترات مفتوحة.

نعتبر المجموعة \(A = (0, 1)\)، وهي الفترة المفتوحة بين 0 و1.

إغلاق هذه المجموعة هو:

$$ Cl(A) = [0, 1] $$

أي أننا نضيف نقطتي النهاية 0 و1 لأنهما نقطتا تراكم.

أما متممة \(A\) في \(\mathbb{R}\) فهي:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

وهذه مجموعة مغلقة أصلًا، وبالتالي فإن إغلاقها لا يغيّرها:

$$ Cl(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

لحساب حدّ \(A\)، نأخذ التقاطع:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \left((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\right) = \{0, 1\} $$

إذن حدّ المجموعة \(A\) يتكوّن فقط من النقطتين 0 و1، وهو بالفعل مجموعة مغلقة في \(\mathbb{R}\).

لماذا يكون الحدّ دائمًا مغلقًا؟

تعتمد هذه النتيجة على خصائص أساسية في الطوبولوجيا:

• إغلاق أي مجموعة هو دائمًا مجموعة مغلقة.
• متممة المجموعة المفتوحة تكون مغلقة، والعكس صحيح.
• تقاطع عدد منتهٍ من المجموعات المغلقة يبقى مجموعة مغلقة.

وبما أن حدّ \(A\) يُعرَّف كتقاطع مجموعتين مغلقتين، أي \(Cl(A)\) و \(Cl(X \setminus A)\)، فإنه يكون بالضرورة مجموعة مغلقة.

وهذه خاصية عامة تنطبق على أي فضاء طوبولوجي، وليست مقتصرة على الأعداد الحقيقية فقط.