تقاطع حدود المجموعة مع المجموعة في الفضاءات الطوبولوجية
يكون تقاطع حدود المجموعة \( \partial A \) مع المجموعة نفسها \( A \) فارغًا إذا وفقط إذا كانت المجموعة مفتوحة: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ مفتوحة} $$
بصيغة أبسط، تكون المجموعة \( A \) مفتوحة إذا لم تنتمِ أي نقطة من عناصرها إلى حدودها.
أي إنّ المجموعة وحدودها لا تشتركان في أي عنصر عندما تكون \( A \) مجموعة مفتوحة.
مثال تطبيقي
لنأخذ الفترة المفتوحة \((0, 1)\) على المستقيم الحقيقي \(\mathbb{R}\)، مع الطوبولوجيا المعتادة:
$$ A = (0, 1) $$
هذه مجموعة مفتوحة. لنرَ ماذا يحدث لحدودها.
تعريف الحدود هو:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$
إغلاق \( A \) هو:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
وإغلاق متمّمها هو:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
بأخذ التقاطع نحصل على:
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
نحسب الآن التقاطع مع المجموعة الأصلية:
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
النتيجة واضحة: لا توجد أي نقطة مشتركة بين \( A \) وحدودها، وهذا يؤكد أنّ \( A \) مجموعة مفتوحة.
مثال 2
لنأخذ الآن الفترة المغلقة:
$$ B = [0, 1] $$
هذه مجموعة مغلقة. نكرر نفس الخطوات.
حدود \( B \) تُحسب بنفس الطريقة:
$$ \partial B = \text{Cl}(B) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus B) $$
فنحصل على:
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
نحسب التقاطع:
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
هذه المرة التقاطع غير فارغ. إذن حدود المجموعة تشترك معها في نقاط، وهذا يدل على أنّ \( B \) ليست مجموعة مفتوحة.
البرهان
لإثبات هذه الخاصية، نبيّن التكافؤ في الاتجاهين.
(⇒) إذا كان \( \partial A \cap A = \emptyset \) فإن \( A \) مفتوحة
إذا لم توجد نقاط مشتركة بين المجموعة وحدودها، فهذا يعني أنّ جميع نقاط \( A \) نقاط داخلية.
أي أنّ لكل نقطة في \( A \) جوارًا مفتوحًا محتوى بالكامل داخل \( A \).
وهذا هو بالضبط تعريف المجموعة المفتوحة.
(⇐) إذا كانت \( A \) مفتوحة فإن \( \partial A \cap A = \emptyset \)
إذا كانت \( A \) مجموعة مفتوحة، فإن كل نقطة فيها تمتلك جوارًا لا يخرج عن \( A \).
لذلك لا يمكن لأي نقطة أن تكون حدّية، لأن النقطة الحدّية يجب أن يلامس كل جوار لها خارج المجموعة.
ومن ثمّ يكون:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
الخلاصة
تقاطع حدود المجموعة مع المجموعة نفسها يكون فارغًا تمامًا إذا وفقط إذا كانت المجموعة مفتوحة.
هذه خاصية أساسية تساعد على فهم العلاقة بين النقاط الداخلية والحدّية في الفضاءات الطوبولوجية.
