طوبولوجيا النقطة المعينة
تُعرف طوبولوجيا النقطة المعينة بأنها نوع خاص من الطوبولوجيا يُطبَّق على مجموعة X تحتوي على عنصر محدد p، حيث تتكوّن من جميع المجموعات الجزئية من X التي تكون إما فارغة أو تتضمن العنصر p.
وبعبارة أخرى، تضم هذه الطوبولوجيا المجموعة الفارغة، والمجموعة الكلية X، وكل مجموعة جزئية تحتوي على العنصر المعيَّن p.
ويُشار إليها أحياناً في المراجع الأجنبية باسم particular point topology أو included point topology، وهما المصطلحان المستخدمان في الأدبيات الرياضية لوصف هذا النوع من الطوبولوجيا.
ملاحظة. لكي تكون هذه البنية طوبولوجيا بالمعنى الرياضي الدقيق، يجب أن تحقق الشروط الأساسية للطوبولوجيا: احتواءها على المجموعة الفارغة والمجموعة الكلية، وأن تكون مغلقة تحت الاتحاد الاعتباطي والتقاطع المنتهي للمجموعات الجزئية.
مثال توضيحي
لنأخذ المجموعة X={a,b,c}، ونختار العنصر "a" ليكون العنصر المعيَّن. لإنشاء طوبولوجيا النقطة المعينة على هذه المجموعة، ندرج ما يلي:
- المجموعة الفارغة: ∅
- المجموعة الكلية: X={a,b,c}
- المجموعات الجزئية التي تحتوي على "a": {a}, {a,b}, {a,c}
وبالتالي تكون طوبولوجيا النقطة المعينة بالنسبة إلى "a" على المجموعة X كما يلي:
$$ T=\{ ∅, \{ a \}, \{ a,b \}, \{ a,c \}, \{a,b,c \} \} $$
يتضح أن هذه المجموعة تحقق شروط الطوبولوجيا، لأنها تحتوي على المجموعة الفارغة والمجموعة الكلية، كما أنها مغلقة تحت عمليتي الاتحاد والتقاطع.
- كل مجموعة في T، باستثناء المجموعة الفارغة، تحتوي على العنصر "a"، لذا فإن اتحاد أي عدد من هذه المجموعات سيحتوي أيضاً على "a"، مما يجعله جزءاً من T.
- أما بالنسبة للتقاطع، فإن أي تقاطع لعدد منتهٍ من هذه المجموعات (ما لم يشمل المجموعة الفارغة) سيحتوي بدوره على الأقل على العنصر "a".
ومن ثم يمكن القول إن هذا البناء يُنتج طوبولوجيا صحيحة على المجموعة X، تُعد مثالاً بسيطاً وواضحاً على كيفية تعريف الطوبولوجيا انطلاقاً من شرط محدد يرتبط بعنصر معيَّن داخل المجموعة.
