المجموعات الكثيفة في الفضاءات الطوبولوجية

في فضاء طوبولوجي $ X $، تُسمّى مجموعة جزئية $ A $ مجموعة كثيفة إذا كان إغلاقها يساوي الفضاء بأكمله $ X $. $$ Cl(A)=X $$

بعبارة مبسطة، تكون $ A $ كثيفة إذا كانت "منتشرة" في جميع أنحاء الفضاء، بحيث لا توجد نقطة في $ X $ بعيدة عنها. أي إن كل نقطة في الفضاء إما تنتمي إلى $ A $ أو يمكن الاقتراب منها إلى أي درجة مرغوبة بواسطة عناصر من $ A $.

ويضمّ إغلاق $ A $ جميع عناصرها، بالإضافة إلى جميع نقاط التراكم المرتبطة بها، أي النقاط التي يمكن الوصول إليها بالاقتراب المتتالي من داخل المجموعة.

أمثلة تطبيقية

مثال 1

في الطوبولوجيا القياسية على $ \mathbb{R} $، تُعدّ مجموعة الأعداد النسبية $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ مثالًا كلاسيكيًا على مجموعة كثيفة.

السبب بسيط ومهم في الوقت نفسه. بين أي عددين حقيقيين، مهما كانا قريبين، يوجد دائمًا عدد نسبي. وهذا يعني أنّ الأعداد النسبية "تملأ" خط الأعداد الحقيقية دون أن تترك فراغات.

لذلك، فإن إغلاق $ \mathbb{Q} $ يساوي الفضاء الكامل:

$$ Cl ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} $$

ومن هنا نستنتج أنّ $ \mathbb{Q} $ مجموعة كثيفة في $ \mathbb{R} $.

ملاحظة. المفارقة الجميلة هنا أنّ مجموعة الأعداد غير النسبية $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ هي أيضًا كثيفة. فبالطريقة نفسها، يمكن تقريب أي عدد حقيقي باستخدام أعداد غير نسبية. وبالتالي: $$ Cl ( \mathbb{I} ) = \mathbb{R} $$

مثال 2

لننظر الآن إلى طوبولوجيا مختلفة قليلًا، وهي طوبولوجيا المتممات المنتهية على $ \mathbb{R} $.

في هذه الطوبولوجيا، تُعدّ المجموعة مفتوحة إذا كان متممها مجموعة منتهية. هذا يغيّر بشكل جذري سلوك المجموعات مقارنة بالطوبولوجيا القياسية.

لنأخذ المجموعة $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $. متممها هو المجموعة \{0\}، وهي منتهية، إذن هذه المجموعة مفتوحة.

عند دراسة إغلاقها، نجد أنّ إضافة النقطة $ 0 $ يعيدنا إلى الفضاء الكامل $ \mathbb{R} $. وبما أنّ $ \mathbb{R} $ هو المجموعة المغلقة الوحيدة التي تحتويها، فإن:

$$ Cl( \mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} $$

وهذا يثبت أنّ $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ مجموعة كثيفة.

ملاحظة. في هذه الطوبولوجيا، تظهر خاصية لافتة. كل مجموعة غير منتهية تكون كثيفة. والسبب أنّ المجموعات المغلقة هي فقط المجموعات المنتهية، وبالتالي لا يمكن احتواء مجموعة غير منتهية إلا داخل الفضاء الكامل.

مثال 3

ليس كل مجموعة كثيفة. على سبيل المثال، المجال $ (0,1) $ في الطوبولوجيا القياسية على $ \mathbb{R} $ ليس كثيفًا.

إغلاق هذا المجال هو $ [0,1] $، لأنه يشمل النقطتين $ 0 $ و$ 1 $ كنقطتي تراكم:

وبالتالي:

هذا الإغلاق لا يساوي $ \mathbb{R} $، بل يمثل جزءًا فقط منه.

لذلك، لا يُعدّ $ (0,1) $ مجموعة كثيفة في $ \mathbb{R} $.

ملاحظة. لكن الصورة تتغير إذا غيّرنا الفضاء. إذا اعتبرنا $ (0,1) $ داخل الفضاء الجزئي $ [0,1] $، فإنه يصبح مجموعة كثيفة، لأن إغلاقه في هذا السياق هو بالضبط $ [0,1] $. هذا يوضح فكرة مهمة: الكثافة ليست خاصية مطلقة، بل تعتمد على الفضاء الذي نعمل فيه.

وهكذا دواليك.