طوبولوجيا سورغنفراي (طوبولوجيا الفترات [a,b))

تُعرف طوبولوجيا سورغنفراي، أو ما يُسمّى بالإنجليزية Lower Limit Topology، بأنها طوبولوجيا على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ تُعرَّف فيها المجموعات المفتوحة بوصفها اتحاداتٍ لفترات مغلقة من اليسار ومفتوحة من اليمين من الشكل [a,b) حيث a < b.

بعبارة أبسط، تكون الفترة مفتوحة في طوبولوجيا سورغنفراي إذا احتوت على حدها الأدنى ولم تتضمّن حدها الأعلى.

قاعدة هذه الطوبولوجيا تُعطى بالصيغة التالية:

$$ B = \{ [a,b) ⊂ R \ | \ a \lt b \} $$

ويمتاز كل عنصر في هذه القاعدة بأن الحد الأدنى للفترة ينتمي إلى المجموعة نفسها.

ملاحظة: طوبولوجيا سورغنفراي طوبولوجيا خاصة على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ، تختلف عن الطوبولوجيا القياسية التي تُولَّد بالفترات المفتوحة (a,b) والتي لا تشمل أيًّا من الطرفين.

تُستخدم هذه الطوبولوجيا بكثرة في دراسة الطوبولوجيا العامة لتوضيح تأثير اختيار الطوبولوجيا في تحديد المجموعات المفتوحة، كما تُقدِّم أمثلة مضادة مفيدة لفهم طبيعة المفاهيم الطوبولوجية.

في طوبولوجيا سورغنفراي تُعتبر الفترات المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين [a,b) مجموعات مفتوحة.

مثال توضيحي

لتقريب الفكرة، نأخذ مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ ونفترض أن كل فترة من الشكل [a,b) تُعد مجموعة مفتوحة فيها.

على سبيل المثال، المجموعات الجزئية مثل [0,2)، [1,4)، [-4,2) وغيرها.

إن اتحاد جميع هذه الفترات المغلقة من اليسار والمفتوحة من اليمين يشكّل القاعدة التي تُولّد طوبولوجيا سورغنفراي.

هذه الطوبولوجيا تُعد من الأمثلة الكلاسيكية التي تُظهر كيف يمكن لتغيير بسيط في تعريف الفترات أن ينتج طوبولوجيا مختلفة تمامًا عن الطوبولوجيا القياسية.