حدود المجموعة \( A \) هي تقاطع إغلاقها مع إغلاق متممتها

إذا كانت \( A \) مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي \( X \)، فإن حدود المجموعة \( \partial A \) تُعرَّف بأنها مجموعة النقاط التي تنتمي في آنٍ واحد إلى إغلاق \( A \) وإغلاق متممتها: $$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $$

بصيغة أبسط، حدود أي مجموعة هي النقاط التي تبقى قريبة منها وقريبة في الوقت نفسه من خارجها. ولهذا يمكن وصفها بأنها تقاطع إغلاق المجموعة مع إغلاق متممتها.

هذه الفكرة مهمة لأنها تساعدنا على تحديد "المنطقة الفاصلة" بين المجموعة وما ليس منها، أي النقاط التي لا تنتمي تمامًا إلى الداخل ولا إلى الخارج.

مثال بسيط

لنأخذ المجموعة \( A \) على أنها الفترة المفتوحة \( (0, 1) \) على خط الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R}\).

إغلاق هذه الفترة يضيف النقطتين الطرفيتين، لذلك نحصل على

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $$

أما متممة \(A\) فهي كل ما يقع خارج هذه الفترة، وإغلاقها لا يغيرها:

$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

عند أخذ التقاطع بين هاتين المجموعتين، نحصل على الحدود:

$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

أي أن حدود الفترة هي فقط النقطتان \(0\) و\(1\)، وهما النقطتان اللتان تفصلان بين داخل الفترة وخارجها.

فكرة البرهان

تعريف الحدود يقول إن النقطة تكون حدّية إذا كان كل جوار لها يحتوي على نقطة من \(A\) ونقطة من متممتها.

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{و}\ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

ومن جهة أخرى، إغلاق مجموعة ما يتكوّن من النقاط التي لا يمكن عزلها عنها بجوار خالٍ منها.

انطلاقًا من هذين التعريفين يمكن فهم البرهان بسهولة:

• إذا كانت النقطة حدّية، فإن جوارها يلتقي مع \(A\) ومع متممتها، وبالتالي فهي تنتمي إلى كلا الإغلاقين.
• وإذا كانت تنتمي إلى كلا الإغلاقين، فإن كل جوار لها يلتقي مع \(A\) ومع متممتها، وبالتالي فهي نقطة حدّية.

وبذلك نحصل على النتيجة النهائية:

$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $$

وهذا يبيّن أن حدود المجموعة هي بالضبط النقاط التي تقع عند التماس بين الداخل والخارج.