المجموعات ذات الحدّ الخالي والمجموعات المفتوحة والمغلقة معًا (Clopen)

يكون حدّ المجموعة $\partial A$ خاليًا إذا وفقط إذا كانت $A$ مجموعة مفتوحة ومغلقة معًا (clopen). $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ مجموعة مفتوحة ومغلقة معًا} $$

بصيغة أبسط، إذا لم تكن للمجموعة أي نقاط حدّية، فهي بالضرورة مجموعة مفتوحة ومغلقة في الوقت نفسه، والعكس صحيح.

النقاط الحدّية هي تلك التي تقع في "المنطقة الفاصلة" بين المجموعة ومتممتها، أي تنتمي إلى إغلاق كلٍّ منهما. عندما تختفي هذه النقاط تمامًا، يصبح سلوك المجموعة منتظمًا بشكل خاص، وهو ما يميز المجموعات من النوع clopen.

أمثلة توضيحية
فكرة البرهان
الخلاصة

أمثلة توضيحية

مثال 1

لنأخذ المجموعة الفارغة $ A = \emptyset $ في $\mathbb{R}$ مع الطوبولوجيا القياسية.

إغلاقها هو:

$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$

ومتممتها هي $A^c = \mathbb{R}$، وإغلاقها:

$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$

إذن:

$$ \partial A = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$

الحدّ خالٍ، وبالتالي $A$ مجموعة مفتوحة ومغلقة معًا.

مثال 2

لنأخذ الآن المجموعة $ A = \mathbb{R} $.

لدينا:

$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R}, \quad \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

ومن ثمّ:

$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$

مرة أخرى، الحدّ خالٍ، وبالتالي $A$ مجموعة مفتوحة ومغلقة معًا.

مثال 3

لننظر إلى المجموعة $A = [0,1)$.

إغلاقها هو:

$\text{Cl}(A) = [0,1]$

ومتممتها:

$A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$

وإغلاق المتممة:

$\text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$

إذن:

$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$

الحدّ هنا غير خالٍ، لذلك $A$ ليست مجموعة مفتوحة ومغلقة معًا.

هذه الأمثلة الثلاثة تكفي لفهم الفكرة الأساسية بشكل واضح.

فكرة البرهان

يعتمد البرهان على التعريف التالي:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

أي أن الحدّ هو تقاطع إغلاق المجموعة مع إغلاق متممتها.

إذا كان الحدّ خاليًا

إذا تحقق:

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

فلا توجد نقاط مشتركة بين الإغلاقين.

من هنا نستنتج نتيجتين مهمتين:

إغلاق $A$ يساوي $A$، وبالتالي $A$ مغلقة.
متممة $A$ مغلقة، وبالتالي $A$ مفتوحة.

إذن $A$ مجموعة مفتوحة ومغلقة معًا.

إذا كانت المجموعة مفتوحة ومغلقة معًا

إذا كانت $A$ مفتوحة ومغلقة، فإن:

$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$

بالتعويض في تعريف الحدّ نحصل على:

$$ \partial A = A \cap A^c $$

وهذا التقاطع فارغ دائمًا، أي:

$$ \partial A = \emptyset $$

الخلاصة

نصل إلى النتيجة الأساسية:

$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ مجموعة مفتوحة ومغلقة معًا} $$

بمعنى آخر، غياب الحدّ هو بالضبط ما يميز المجموعات التي تكون في الوقت نفسه مفتوحة ومغلقة.