商拓扑中的开集并

设 $ Q $ 为一个赋予商拓扑的商空间，$ \{U_i\} $ 为 $ Q $ 中的一族开集。由于原像运算与任意并运算可交换，因此这些开集并集的原像，恰好等于各个开集原像的并集：$$ p^{-1}( \bigcup U_i ) = \bigcup{ p^{-1}(U_i) } $$而每个 $ p^{-1}(U_i) $ 都是原空间 $ X $ 中的开集，所以它们的并仍然是开集。由此可知，在商拓扑中，任意多个开集的并依然是开集。

通过一个具体例子来理解

为了更直观地理解这一性质，我们来看一个经典的商拓扑例子。

考虑实数集 $ \mathbb{R} $，并定义映射 $ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} $。在这个映射下，每个实数 $ x\in\mathbb{R} $ 都被映射到它模 1 的等价类。

从直观上说，我们只保留一个实数的小数部分，而忽略它的整数部分。

例如，0.3、1.3、2.3、3.3 等数在映射 $ p $ 下都会对应到同一个点 0.3。

商空间中的模1映射示意图

因此，商空间 $ Q=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $ 可以看作一个圆周。虽然我们常用区间 $[0,1)$ 来表示它，但实际上区间两端的点 0 和 1 被视为同一个点，因此首尾连接后形成了一个圆。

现在，在商空间 $ Q $ 中取两个开集：

$ U_1 = (0.1, 0.4) $
$ U_2 = (0.6, 0.8) $

这两个集合都是商空间中的开集。

接下来，我们来看看它们的原像是什么。

$ U_1 $ 的原像由所有对应的开区间组成： \[ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.4) \cup (1.1, 1.4) \cup (2.1, 2.4) \cup \dots \]
$ U_2 $ 的原像同样由所有对应的开区间组成： \[ p^{-1}(U_2) = (0.6, 0.8) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots \]

在商空间中，这两个开集的并为：

$$ U_1 \cup U_2 = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) $$

根据原像与并运算之间的基本关系，有：

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

将前面的结果代入，可以得到：

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) \cup (1.1, 1.4) \cup (1.6, 1.8) \cup \dots $$

这里得到的是 $ \mathbb{R} $ 中许多开区间的并集。由于开集的任意并仍然是开集，因此这个原像是 $ \mathbb{R} $ 中的开集。

而商拓扑的定义告诉我们：一个集合在商空间中是开集，当且仅当它在商映射下的原像是原空间中的开集。

既然 $ p^{-1}(U_1 \cup U_2) $ 是开集，那么 $ U_1 \cup U_2 $ 也必然是商空间 $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ 中的开集。

这个例子清楚地展示了为什么商拓扑中的开集对任意并运算保持封闭。事实上，对于任意多个开集，证明过程完全相同。因此，商拓扑满足拓扑公理中"开集的任意并仍为开集"这一基本性质。