度量空间

什么是度量空间？

度量空间是一个二元组 $ (X, d) $。其中，$ X $ 是一个集合，$ d $ 是定义在 $ X \times X $ 上的函数，称为度量。它为集合 $ X $ 中任意两个点 $ x, y \in X $ 指定一个非负实数 $ d(x, y) $，用来表示它们之间的距离。通常记作 $ (X, d) $。 $$ (X,d) $$

要成为一个度量，函数 $ d $ 必须满足以下三个基本条件：

非负性与同一性：对于任意 $ x, y \in X $，都有 $ d(x, y) \geq 0 $。并且，只有当 $ x = y $ 时，才有 $ d(x, y) = 0 $。也就是说，一个点到自身的距离为零，而不同点之间的距离始终为正。
对称性：对于任意 $ x, y \in X $，都有 $ d(x, y) = d(y, x) $。因此，从 $ x $ 到 $ y $ 的距离与从 $ y $ 到 $ x $ 的距离完全相同。
三角不等式：对于任意 $ x, y, z \in X $，都有 $ d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) $。换句话说，两点之间的直线距离不会超过经过第三个点时路径长度之和。

度量空间的意义在于，它为一个集合建立了严格的"距离"概念。有了距离，我们不仅可以讨论点之间相隔多远，还能够进一步研究连续性、收敛性、紧致性等分析学和拓扑学中的重要概念。

简单来说，度量空间就是一个配备了距离函数 $ d $ 的集合 $ X $。

这里的集合可以十分广泛，既可以是普通的点集，也可以是向量空间，甚至可以是各种更加抽象的数学对象。

一个典型例子
距离函数（度量）
由范数诱导的度量
补充说明

一个典型例子

最经典的度量空间是 $ \mathbb{R}^n $ 中的欧几里得空间。例如，当 $ n = 2 $ 时，它表示平面中的点集；当 $ n = 3 $ 时，它表示三维空间中的点集。

下面以 $ \mathbb{R}^2 $（笛卡儿平面）为例进行说明。

设两个点分别为 $ p = (p_1, p_2) $ 和 $ q = (q_1, q_2) $，则欧几里得度量定义为：

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

该公式计算的就是欧几里得距离，即平面中两点之间的直线距离。

这一距离满足度量的全部条件：

非负性与同一性：平方根的值始终不小于零；只有当 $ p=q $ 时，距离才等于零。
对称性：由于 $ (p_1-q_1)^2=(q_1-p_1)^2 $，因此 $ d(p,q)=d(q,p) $，距离与点的顺序无关。
三角不等式：两点之间的直线距离总是不大于经过第三个点时路径长度之和。这一性质可以由勾股定理及欧几里得几何中的相关结论加以证明。

因此，空间 $ (\mathbb{R}^2, d) $ 就是一个典型的度量空间。

距离函数（度量）

什么是距离函数？

距离函数（或称度量）是一个函数 $ d(x_1,x_2) $，满足以下四个条件：

$ d(x_1, x_2) \geq 0 $
$ d(x_1, x_2) = 0 $ 当且仅当 $ x_1 = x_2 $
$ d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) $
$ d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) $

其中，$ x_1, x_2, x_3 \in X $。

几种常见的距离

距离函数并不是唯一的。根据不同的应用背景，可以定义不同类型的度量。

欧几里得距离

$$ d_2(x,y):=\sqrt{\sum_i (x_i-y_i)^2} $$

这是应用最广泛的一种距离，也是欧几里得几何的基础。

曼哈顿距离

曼哈顿距离是出租车几何中的基本概念。它之所以得名，是因为在类似曼哈顿那样呈棋盘状布局的城市中，车辆不能斜穿街区，只能沿着横向和纵向道路行驶。

$$ d_1(x,y):=\sum_i |x_i-y_i| $$

离散距离

在离散度量中，如果两个点相同，则距离为 0；如果两个点不同，则距离恒为 1。

$$ d(x,y):=\begin{cases}0 \:\:\: \text{若 } x=y \\ 1 \:\:\: \text{若 } x\ne y\end{cases} $$

由范数诱导的度量

范数总能够自然地诱导出一个度量。

由范数定义得到的度量称为诱导度量。

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

也就是说，一个向量的范数就是它到零向量的距离。

因此，任何赋范向量空间天然都是一个度量空间。

注意：反过来并不成立。一个度量并不一定能够由某个范数诱导得到。

诱导度量的判定条件

如果一个度量满足下面两个条件，那么它就是由某个范数诱导得到的：

$ d(v_1 + v_3,\, v_2 + v_3) = d(v_1,\, v_2) $
$ d(kv_1,\, kv_2) = |k|\, d(v_1,\, v_2) $

其中，$ v_1 $、$ v_2 $、$ v_3 $ 是向量空间 $ V $ 中的向量，$ k \in K $ 是一个标量。

例子

下面以欧几里得范数为例，验证它确实能够诱导出欧几里得度量。

设欧几里得空间中有三个向量：

$$ v_1=(6,8) \\ v_2=(3,4) \\ v_3=(3,0) $$

它们的欧几里得范数分别为：

$$ ||v_1||_2=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10 $$ $$ ||v_2||_2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 $$ $$ ||v_3||_2=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}=3 $$

因此，它们到零向量的距离分别为：

$$ d(v_1,0_V)=||v_1||_2=10 $$ $$ d(v_2,0_V)=||v_2||_2=5 $$ $$ d(v_3,0_V)=||v_3||_2=3 $$

根据定义，若 $$ ||v||=d(v,0_V) $$ 成立，则对应的度量必须满足以下两个条件：
1）$ d(v_1+v_3,\;v_2+v_3)=d(v_1,v_2) $
2）$ d(kv_1,\;kv_2)=|k|\,d(v_1,v_2) $

下面分别验证这两个条件。

验证第一个条件

$$ d(v_1+v_3,\;v_2+v_3)=d(v_1,v_2) $$ $$ d(10+3,\;5+3)=d(10,\;5) $$ $$ d(13,\;8)=d(10,\;5) $$

左边的距离为：

$$ d(13,8) = \sqrt{(13-8)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

右边的距离为：

$$ d(10,5) = \sqrt{(10-5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

因此：

$$ d(13,8)=d(10,5)=5 $$

第一个条件成立。

验证第二个条件

$$ d(kv_1,\;kv_2)=|k|\,d(v_1,v_2) $$ $$ d(10k,\;5k)=|k|\,d(10,5) $$

取 $ k=2 $。

$$ d(20,\;10)=2\,d(10,5) $$

左边为：

$$ d(20,10) = \sqrt{(20-10)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

右边为：

$$ 2\,d(10,5) = 2\times5 = 10 $$

因此：

$$ d(20,10) = 2\,d(10,5) = 10 $$

第二个条件同样成立。

由此可见，在欧几里得空间中，欧几里得度量确实是由欧几里得范数诱导得到的。

补充说明

下面介绍几个与度量空间密切相关的重要概念。

注意：在由度量 $d$ 诱导的拓扑中，有界性与集合是否为开集或闭集没有直接关系，它只反映集合中各点之间的距离是否受到统一的上界限制。

度量空间中的有界集
设 $(X,d)$ 是一个度量空间。若存在一个正实数 $\mu>0$ 和一个固定点 $x_0\in X$，使得 $$ d(x,x_0)\le\mu, \qquad \forall x\in A, $$ 则称子集 $A\subseteq X$ 为有界集。简单来说，如果集合 $A$ 的所有点都包含在以 $x_0$ 为中心、半径为 $\mu$ 的某个球内，那么 $A$ 就是有界的。
有界度量
如果整个空间 $X$ 本身是有界的，则称度量 $d$ 为有界度量。
度量诱导拓扑的基定理
在度量空间 $(X,d)$ 中，所有开球组成的集合 $$ \mathcal{B} = \{B_d(x,\varepsilon)\mid x\in X,\ \varepsilon>0\} $$ 构成 $X$ 上一个拓扑的一组基。
度量空间中的连续性定理
设 $f:X\rightarrow Y$ 是两个度量空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 之间的映射。如果对于任意 $x\in X$ 和任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得 $$ d_X(x,x')<\delta $$ 就一定有 $$ d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon, $$ 那么函数 $f$ 在点 $x$ 处连续。
度量空间都是豪斯多夫空间
每一个度量空间都是豪斯多夫空间。反过来，如果一个拓扑空间不是豪斯多夫空间，那么它就不可能由任何度量诱导得到。
注意：豪斯多夫空间是指任意两个不同的点，都可以分别找到两个互不相交的开邻域，将它们彼此分离。

除了这些性质之外，度量空间还有许多重要结论和应用，我们将在后续内容中继续介绍。