拓扑空间中的收敛

在拓扑空间 $ X $ 中，设 $ (x_n) $ 是 $ X $ 中的一个序列。若对于点 $ x \in X $ 的任意邻域 $ U $，都存在一个正整数 $ N $，使得当 $ n \geq N $ 时恒有 $ x_n \in U $，那么称序列 $ (x_n) $ 收敛于 $ x $，并称 $ x $ 为该序列的极限。

简单来说，只要从某一项开始，序列中的所有项都会进入并停留在点 $ x $ 的任意邻域中，就说明这个序列收敛到 $ x $。

数学上记作：

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

这里的 $ x $ 就是序列 $ (x_n) $ 的极限。

一个具体例子
直观理解

一个具体例子

下面通过经典序列 $ \left( \frac{1}{n} \right) $ 来理解这一概念。

在带有标准拓扑的实数空间 $ X=\mathbb{R} $ 中，考虑序列：

$$ x_n = \left( \frac{1}{n} \right) $$

我们希望证明：

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

也就是说，需要证明 0 是该序列的极限。

根据定义，需要验证以下事实：

对于 0 的任意邻域 $ U $，总存在一个正整数 $ N $，使得当 $ n \geq N $ 时，都有：

$$ \frac{1}{n} \in U $$

在实数空间 $ \mathbb{R} $ 的标准拓扑中，0 的任意邻域都至少包含一个开区间：

$$ (-\epsilon,\epsilon) $$

其中 $ \epsilon>0 $。

因此，我们只需要找到一个整数 $ N $，使得当 $ n \geq N $ 时：

$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon $$

对于任意给定的 $ \epsilon>0 $，可以取：

$$ N=\left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil $$

于是当 $ n \geq N $ 时，有：

$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{n} \leq \epsilon $$

从而得到：

$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon $$

这说明从某一项开始，序列中的所有项都会落入邻域 $ (-\epsilon,\epsilon) $ 中。

因此，对于 0 的任意邻域 $ U $，总能找到一个足够大的 $ N $，使得当 $ n \geq N $ 时，序列中的所有项都属于 $ U $。

所以：

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

因此，0 是序列 $ \left( \frac{1}{n} \right) $ 的极限。

直观理解

序列 $ \frac{1}{n} $ 的各项会越来越小，并不断接近 0：

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{1}{n} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \\ 4 & 0.25 \\ 5 & 0.2 \\ 6 & 0.167 \\ 7 & 0.143 \\ 8 & 0.125 \\ 9 & 0.111 \\ 10 & 0.1 \\ \hline \end{array} $$

例如，当取 $ N=5 $ 时：

$$ x_5=\frac{1}{5}=0.2 $$

对于所有 $ n>5 $，后续各项都会落在邻域：

$$ U=(0,0.2) $$

内。

拓扑空间中序列极限的示例

如果取更大的 $ N $，邻域会进一步缩小，但序列后面的项仍然全部包含在其中。

例如，当 $ N=10 $ 时：

$$ x_{10}=0.1 $$

对于所有 $ n>10 $，都有：

$$ \frac{1}{n} \in (0,0.1) $$

序列收敛过程示意图

因此，随着 $ n $ 不断增大，序列中的项会无限接近 0。

这正是序列收敛于 0 的含义。