度量拓扑

设 $ d $ 是集合 $ X $ 上的一个度量。由所有 $ d $-开球构成的一组基所生成的拓扑称为度量拓扑，也称为由度量 $ d $ 诱导的拓扑。

在度量空间$ (X, d) $ 中，度量 $ d $ 用来描述空间中任意两点之间的距离。借助这个距离，可以定义开球，并进一步构造开集，从而得到空间上的拓扑结构。

给定一点 $ x \in X $ 和一个正数 $ \varepsilon $，以 $ x $ 为中心、半径为 $ \varepsilon $ 的开球定义为：

$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$

也就是说，开球由所有与点 $ x $ 的距离小于 $ \varepsilon $ 的点组成。

在度量拓扑中，一个集合是开集，当且仅当它可以表示为若干开球的并集。

等价地，集合 $ U \subset X $ 是由度量 $ d $ 诱导的拓扑中的开集，当且仅当对任意 $ y \in U $，都存在一个正数 $ \delta $，使得开球 $ B_d(y, \delta) $ 完全包含于 $ U $ 中。

一个具体例子

下面以一维欧几里得空间 $\mathbb{R}$ 为例进行说明。$\mathbb{R}$ 可以看作一条实数轴，并采用通常的欧几里得距离。

对于任意两个实数 $x$ 和 $y$，它们之间的距离定义为：

$$ d(x, y) = |x - y| $$

其中，$|x-y|$ 表示两数之差的绝对值。这个函数满足度量的全部公理，因此是 $\mathbb{R}$ 上的标准度量。

利用这个度量，可以构造实数轴上的开球。

例如，取中心点 $x=3$，半径 $\varepsilon=1$。此时：

$$ B_d(3,1)=\{y\in\mathbb{R}\mid d(3,y)<1\}=\{y\in\mathbb{R}\mid |3-y|<1\}. $$

解不等式 $ |3-y|<1 $，得到：

$$2

因此：

$$ B_d(3,1)=(2,4). $$

也就是说，在实数轴上，这个开球恰好对应于开区间 $(2,4)$。

实数轴上的开球示例

事实上，像 $ (2,4) $、$ (5,7) $ 以及任意开区间 $(a,b)$，都可以看作是通常度量 $ d(x,y)=|x-y| $ 下的开球，或者若干开球的并集。

实数轴上的开集示例

因此，这些开区间构成了 $\mathbb{R}$ 上通常拓扑的一组基。

说明：在 $\mathbb{R}$ 的度量拓扑中，一个集合是开集，意味着集合中的每一点都存在一个完全包含于该集合内的开区间（即开球）。例如，区间 $(0,5)$ 是开集，因为对其中任意一点，都能找到一个足够小的开区间，使其始终位于 $(0,5)$ 内。

因此，在实数轴上，由距离 $ d(x,y)=|x-y| $ 所诱导的度量拓扑，就是数学中通常使用的标准拓扑。

在度量拓扑中，如果子集 $ U\subset X $ 满足：对其中任意一点 $ y $，都存在一个以 $ y $ 为中心的开球，并且该开球完全包含于 $ U $，那么 $ U $ 就称为开集。

直观地说，只要位于开集内部，无论选择哪一点，都可以在它周围画出一个足够小的圆形区域（高维空间中对应球形区域），而不会越出集合的边界。

这正是开集最重要的特征，也是度量拓扑中判断一个集合是否为开集的基本标准。

下面给出了度量空间 $ \mathbb{R}^2 $ 中一个开集的示意图。

二维空间中的开集示例

与开集相对应的是闭集。如果一个集合的补集是开集，那么它就是闭集。闭球就是典型的闭集，它不仅包含内部所有点，也包含边界上的点。

闭集示例

因此，度量拓扑实际上是利用“每一点附近是否存在一个完全位于集合内部的开球”来刻画开集这一概念。

度量拓扑不仅可以由欧几里得度量产生，还可以由其他不同类型的度量诱导。

在平面 $ \mathbb{R}^2 $ 上，最常见的几种度量包括：

标准度量（欧几里得度量）
在这种度量下，开球是圆形，因此得到的是大家最熟悉的平面拓扑。
$$ d(p,q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}. $$
出租车度量（曼哈顿距离）
在这种度量下，开球呈菱形，因此也称为菱形球。虽然形状发生了变化，但它诱导出的仍然是 $\mathbb{R}^2$ 的通常拓扑。
$$ d_T(p,q)=|p_1-q_1|+|p_2-q_2|. $$
最大度量
在最大度量下，开球表现为边与坐标轴平行的正方形。同样，它诱导出的仍是 $\mathbb{R}^2$ 的通常拓扑。
$$ d_M(p,q)=\max\{|p_1-q_1|,\ |p_2-q_2|\}. $$

虽然欧几里得度量、出租车度量和最大度量对应的开球形状分别是圆形、菱形和正方形，但它们在 $\mathbb{R}^2$ 上诱导出的拓扑实际上是相同的。

下面介绍两个与度量拓扑密切相关的重要结论。

定理：度量诱导拓扑的比较
设 $d$ 和 $d'$ 是集合 $X$ 上的两个度量，分别诱导拓扑 $\mathcal{T}$ 和 $\mathcal{T}'$。当且仅当对于任意 $x\in X$ 和任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，满足 $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon), $$ 则称拓扑 $\mathcal{T}'$ 比 $\mathcal{T}$ 更细。
从直观上理解，如果由 $d'$ 诱导出的开球总能够包含在 $d$ 的开球之内，那么 $\mathcal{T}'$ 所提供的邻域划分更加精细，因此它诱导出的拓扑也更细。
有界度量定理
在度量空间 $ (X,d) $ 中，可以定义新的有界度量 $ d'(x,y)=\min(d(x,y),\varepsilon) $，其中 $\varepsilon>0$。虽然新的距离被限制了上界，但它与原度量 $ d $ 诱导出的拓扑完全相同，因此两者具有相同的开集。

等等。