乘积空间的拓扑等价性

设 $ X $、$ Y $ 和 $ Z $ 为拓扑空间，则以下几个乘积空间在拓扑意义下彼此等价：$$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

这意味着，在构造笛卡尔积时，无论如何添加括号或调整空间的分组方式，最终得到的拓扑空间本质上并不会发生变化。

换句话说，拓扑空间的笛卡尔积满足结合律。

说明：这一性质在研究乘积空间时非常重要。它使我们能够把多个拓扑空间的乘积看作一个整体，而不必反复区分不同的分组形式，从而大大简化了相关分析与证明。

一个直观的例子

为了更容易理解乘积空间之间的拓扑等价性，我们来看一个最常见的例子。

考虑三个相同的拓扑空间 $\mathbb{R}$。这里的 $\mathbb{R}$ 表示带标准拓扑的实数集：

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

下面分别考察它们的不同乘积形式。

乘积空间 (X×Y)×Z
首先计算 $X \times Y$，得到二维欧氏平面： \[ \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \] 然后再将 $\mathbb{R}^2$ 与 $Z$ 作乘积，得到： \[ \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \] 这个空间中的元素可以写成 $((x,y),z)$ 的形式，其中 $x,y,z \in \mathbb{R}$。虽然写法中包含括号，但从拓扑结构来看，它实际上就是三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$。
乘积空间 X×(Y×Z)
现在换一种分组方式。先计算： \[ Y \times Z = \mathbb{R}^2 \] 然后再计算： \[ X \times \mathbb{R}^2 \] 该空间中的元素写作 $(x,(y,z))$，其中 $x,y,z \in \mathbb{R}$。虽然括号的位置与前一种情况不同，但所得空间仍然与 $\mathbb{R}^3$ 同胚。
乘积空间 X×Y×Z
最后，直接计算三个实数空间的笛卡尔积： \[ \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \] 得到的元素为有序三元组 $(x,y,z)$，其中 $x,y,z \in \mathbb{R}$。这个空间同样就是我们熟悉的三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$。

因此，无论采用哪一种分组方式，最终得到的拓扑空间都与 $\mathbb{R}^3$ 同胚。

这说明，乘积空间的拓扑结构并不会因为括号位置的不同而改变。对于多个拓扑空间的乘积而言，分组方式只影响写法，而不会影响最终的拓扑性质。