笛卡尔积的内部定理

设 \(A\) 和 \(B\) 分别为拓扑空间 \(X\) 与 \(Y\) 中的两个子集，那么它们的笛卡尔积 \(A \times B\) 的内部，等于各自内部的笛卡尔积。即：$$ \operatorname{Int}(A \times B)=\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B) $$

这是积拓扑中的一个重要结论。它说明，在求笛卡尔积的内部时，可以先分别求出各个集合的内部，再将结果进行笛卡尔积运算。

直观理解

内部由集合中的所有内点组成。一个点如果拥有完全包含在该集合中的开邻域，那么它就是该集合的内点。

对于两个集合 \(A\) 和 \(B\) 而言，笛卡尔积 \(A \times B\) 由所有满足 \(x \in A\) 且 \(y \in B\) 的点对 \((x,y)\) 构成。

该定理表明，只有当 \(x\) 是 \(A\) 的内点，同时 \(y\) 是 \(B\) 的内点时，点对 \((x,y)\) 才会成为 \(A \times B\) 的内点。因此，笛卡尔积的内部恰好由两个集合内部的笛卡尔积组成。

一个具体例子

考虑两个拓扑空间 \(X=\mathbb{R}\) 和 \(Y=\mathbb{R}\)，以及其中的两个子集：

$$ A=(0,2) $$

$$ B=(1,3) $$

这里的 \(A\) 和 \(B\) 都是实数轴上的开区间。

由于开集的内部仍然是其自身，因此：

$$ \operatorname{Int}(A)=(0,2) $$

$$ \operatorname{Int}(B)=(1,3) $$

接下来计算两个内部的笛卡尔积：

$$ \operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B)=(0,2)\times(1,3) $$

该集合包含所有满足 \(x\in(0,2)\) 且 \(y\in(1,3)\) 的有序对：

$$ \operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B)=\{(x,y)\mid x\in(0,2),\,y\in(1,3)\} $$

从几何上看，这对应于平面 \(\mathbb{R}^2\) 中的一个开矩形。

现在来看笛卡尔积本身：

$$ A\times B=(0,2)\times(1,3) $$

由于该集合本身已经是平面中的开矩形，因此它的内部仍然是自身：

$$ \operatorname{Int}(A\times B)=(0,2)\times(1,3) $$

于是得到：

$$ \operatorname{Int}(A\times B)=\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B) $$

这与定理的结论完全一致。

证明

为了证明两个集合相等，只需分别证明它们互相包含。

第一步：证明 \(\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B)\subseteq\operatorname{Int}(A\times B)\)

任取一点 \((x,y)\in\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B)\)。

根据内部的定义，存在开集 \(U\subseteq X\) 和 \(V\subseteq Y\)，使得：

$$ x\in U\subseteq A $$

$$ y\in V\subseteq B $$

在积拓扑中，\(U\times V\) 是 \(X\times Y\) 中的开集，并满足：

$$ (x,y)\in U\times V\subseteq A\times B $$

因此，\((x,y)\) 拥有一个完全包含于 \(A\times B\) 中的开邻域。

这说明：

$$ (x,y)\in\operatorname{Int}(A\times B) $$

于是得到：

$$ \operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B)\subseteq\operatorname{Int}(A\times B) $$

第二步：证明 \(\operatorname{Int}(A\times B)\subseteq\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B)\)

现在任取一点：

$$ (x,y)\in\operatorname{Int}(A\times B) $$

根据内部的定义，存在开集 \(W\subseteq X\times Y\)，满足：

$$ (x,y)\in W\subseteq A\times B $$

由于积拓扑的基由形如 \(U\times V\) 的集合构成，因此存在开集 \(U\subseteq X\) 和 \(V\subseteq Y\)，使得：

$$ (x,y)\in U\times V\subseteq W $$

从而有：

$$ U\times V\subseteq A\times B $$

因此：

$$ U\subseteq A,\qquad V\subseteq B $$

又因为 \(U\) 和 \(V\) 都是开集，所以：

$$ x\in\operatorname{Int}(A) $$

$$ y\in\operatorname{Int}(B) $$

从而得到：

$$ (x,y)\in\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B) $$

即：

$$ \operatorname{Int}(A\times B)\subseteq\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B) $$

结论

我们已经证明：

$$ \operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B)\subseteq\operatorname{Int}(A\times B) $$

以及：

$$ \operatorname{Int}(A\times B)\subseteq\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B) $$

根据集合相等的判定准则，可得：

$$ \operatorname{Int}(A\times B)=\operatorname{Int}(A)\times\operatorname{Int}(B) $$

因此，笛卡尔积的内部等于各因子集合内部的笛卡尔积。

定理得证。