拼接引理
设 \( X \) 为一个拓扑空间，\( A \) 和 \( B \) 是 \( X \) 的两个闭子集，并满足 \( A \cup B = X \)。设 \( Y \) 也是一个拓扑空间。若映射 \( f: A \to Y \) 与 \( g: B \to Y \) 都是连续的，并且它们在交集 \( A \cap B \) 上取值一致，即对任意 \( x \in A \cap B \)，都有 \( f(x)=g(x) \)，那么由下式定义的映射 \( h: X \to Y \)： $$ h(x)=\begin{cases} f(x) & \text{若 } x\in A, \\ g(x) & \text{若 } x\in B, \end{cases} $$ 也是连续的。
拼接引理（Pasting Lemma）是拓扑学中的一个基础结果。它告诉我们，只要两个连续映射在重叠部分能够"无缝衔接"，就可以把它们组合成一个新的连续映射。
这一结论在拓扑学、微分几何以及代数拓扑中都非常重要。很多全局定义的映射，实际上都是先在不同区域分别构造，然后再利用拼接引理组合而成的。
拼接引理的直观理解
可以把 \( A \) 和 \( B \) 看成覆盖整个空间 \( X \) 的两块区域。
假设我们已经分别定义了两个连续映射：
- \( f:A\to Y \)，定义在区域 \( A \) 上；
- \( g:B\to Y \)，定义在区域 \( B \) 上。
如果两者在公共区域 \( A \cap B \) 上给出的结果完全一致，那么从整个空间的角度来看，它们实际上描述的是同一个映射。
因此，我们可以把它们拼接起来，得到一个定义在整个空间 \( X \) 上的新映射 \( h \)。
拼接引理保证，在闭集条件下，这个新映射依然保持连续。
一个具体例子
考虑定义在不同区间上的两个函数：
- \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \)，定义为 \( f(x)=x \)；
- \( g:[1,2]\to\mathbb{R} \)，定义为 \( g(x)=2-x \)。
这两个函数都很简单，而且分别在各自的定义区间上连续。
下面验证拼接引理的条件。
闭集条件
区间 \( [0,1] \) 和 \( [1,2] \) 都是实数空间 \( \mathbb{R} \) 中的闭集。
覆盖条件
令
$$ A=[0,1], \qquad B=[1,2]. $$
则
$$ A\cup B=[0,2]. $$
也就是说，这两个区间共同覆盖了整个目标区间。
交集上的一致性
两个区间的交集为
$$ A\cap B=\{1\}. $$
检查交点处的函数值：
$$ f(1)=1, $$
以及
$$ g(1)=2-1=1. $$
因此
$$ f(1)=g(1). $$
两个函数在重叠部分完全一致。
至此，拼接引理的所有条件都已经满足。
构造拼接后的函数
现在定义函数
$$ h:[0,2]\to\mathbb{R} $$
如下：
$$ h(x)=\begin{cases} x & \text{若 } x\in[0,1], \\ 2-x & \text{若 } x\in[1,2]. \end{cases} $$
根据拼接引理，函数 \( h \) 在整个区间 \( [0,2] \) 上连续。
从图像上看：
- 在 \( [0,1] \) 上，函数是一条向上倾斜的直线；
- 在 \( [1,2] \) 上，函数是一条向下倾斜的直线；
- 两条线段在点 \( (1,1) \) 处恰好连接在一起。
由于连接处没有断裂、跳跃或空缺，因此整个函数保持连续。
证明
下面证明拼接后的映射 \( h \) 确实连续。
根据连续性的闭集刻画，只需证明：
如果 \( C \subseteq Y \) 是闭集，那么 \( h^{-1}(C) \) 也是 \( X \) 中的闭集。
由于 \( h \) 在 \( A \) 上由 \( f \) 给出，在 \( B \) 上由 \( g \) 给出，因此有：
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C). $$
这里：
- \( f^{-1}(C) \) 是所有经 \( f \) 映射后落入 \( C \) 的点组成的集合；
- \( g^{-1}(C) \) 是所有经 \( g \) 映射后落入 \( C \) 的点组成的集合。
由于 \( f \) 连续，而 \( C \) 是闭集，因此 \( f^{-1}(C) \) 在 \( A \) 中是闭集。
又因为 \( A \) 本身是 \( X \) 中的闭集，所以 \( f^{-1}(C) \) 也是 \( X \) 中的闭集。
同理，\( g^{-1}(C) \) 也是 \( X \) 中的闭集。
于是 \( h^{-1}(C) \) 是两个闭集的并：
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C). $$
而有限个闭集的并仍然是闭集，因此 \( h^{-1}(C) \) 在 \( X \) 中是闭集。
根据连续性的定义，可以得出 \( h \) 是连续映射。
拼接引理得证。
总结
拼接引理的核心思想非常简单：
- 先在不同的闭子集上分别构造连续映射；
- 确保这些映射在重叠部分完全一致；
- 再将它们拼接成一个定义在整个空间上的映射。
只要满足这些条件，拼接后的映射仍然连续。
正因为如此，拼接引理成为构造连续映射时最常用的工具之一，也是学习拓扑学时必须掌握的重要定理。
