商拓扑中开集的交集

在商拓扑中，一族开集 $ U_i $ 的有限交集的原像，等于这些开集原像的交集，而该交集在空间 $ X $ 的原拓扑中仍然是开集。即：$$ p^{-1}\!\left(\bigcap U_i\right)=\bigcap p^{-1}(U_i) $$ 因此，有限个开集的交集在商拓扑中仍然是开集。

一个直观的例子

为了更好地理解这一性质，我们来看一个经典的商空间：

$$ A=\mathbb{R}/\mathbb{Z} $$

这个空间可以直观地看成一个圆周。

这里的原空间是实数集 $ \mathbb{R} $，商映射 $ p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} $ 会把相差整数的实数视为同一个点。换句话说，所有具有相同小数部分的实数都会对应到商空间中的同一点。

因此，商空间中的点通常可以用区间 [0,1) 中的代表元来描述。

例如，0.3、1.3 和 2.3 虽然是不同的实数，但它们在商空间中表示的是同一个点，因此在圆周上对应同一位置。

商拓扑中开集交集示意图

现在在圆周 $ A $ 上取两个开集：

$$ U_1=(0.1,0.5) $$

$$ U_2=(0.3,0.7) $$

这两个区间在商拓扑 $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ 中都是开集。

求它们的交集：

$$ U_1\cap U_2=(0.3,0.5) $$

结果仍然是一个开区间，因此从直观上看，它显然还是圆周上的开集。

商拓扑的定义是通过原像来判断集合是否开。因此，我们来考察这些集合在 $ \mathbb{R} $ 中的原像。

$ U_1 $ 的原像为：

$$ p^{-1}(U_1)=(0.1,0.5)\cup(1.1,1.5)\cup(2.1,2.5)\cup\cdots $$

也就是说，区间 $ (0.1,0.5) $ 会沿着实数轴不断重复出现。

同样，$ U_2 $ 的原像为：

$$ p^{-1}(U_2)=(0.3,0.7)\cup(1.3,1.7)\cup(2.3,2.7)\cup\cdots $$

接下来计算交集的原像。

根据原像与交集之间的基本关系：

$$ p^{-1}(U_1\cap U_2)=p^{-1}(U_1)\cap p^{-1}(U_2) $$

因此得到：

$$ p^{-1}(U_1\cap U_2)=(0.3,0.5)\cup(1.3,1.5)\cup(2.3,2.5)\cup\cdots $$

这个集合仍然是无穷多个开区间的并集，因此在实数空间 $ \mathbb{R} $ 的通常拓扑下是开集。

根据商拓扑的定义，如果一个集合的原像在原空间中是开集，那么该集合在商空间中也是开集。

由于 $ p^{-1}(U_1\cap U_2) $ 在 $ \mathbb{R} $ 中是开集，因此 $ U_1\cap U_2 $ 在商拓扑 $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ 中也是开集。

这说明，在商空间中，有限个开集的交集仍然保持开性。这一性质与普通拓扑空间中的开集性质完全一致，也是商拓扑成为拓扑结构的重要原因之一。

对于任意有限个开集，都可以用同样的思路证明这一结论。