连续映射保持闭包性质
设 \( f : X \to Y \) 是一个连续映射，\( A \subset X \)。如果点 \( x \) 属于集合 \( A \) 的闭包，即 \( x \in Cl(A) \)，那么它在映射 \( f \) 下的像 \( f(x) \) 也一定属于像集 \( f(A) \) 的闭包，即 \( f(x) \in Cl(f(A)) \)。
这一结论揭示了连续映射的一项重要性质：它不仅保持点与点之间的连续关系，也会保留点与集合之间的"接近关系"。
换句话说，如果一个点本身就在集合 \( A \) 中，或者虽然不属于 \( A \) 但可以通过 \( A \) 中的点无限逼近，那么经过连续映射后，它的像仍然能够被 \( f(A) \) 中的点无限逼近。
一个直观的例子
考虑实数空间上的连续映射
$$ f(x)=x^2 $$
并取集合
$$ A=(0,2) $$
这是一个开区间，不包含端点 \( 0 \) 和 \( 2 \)。
集合 \( A \) 的闭包为
$$ Cl(A)=[0,2] $$
因为在形成闭包时，需要将区间的边界点 \( 0 \) 和 \( 2 \) 一并加入。虽然这两个点不属于 \( A \)，但它们都可以由 \( A \) 中的点无限逼近，因此属于 \( A \) 的闭包。
接下来考察 \( A \) 在映射 \( f(x)=x^2 \) 下的像：
$$ f(A)=(0,4) $$
这是因为当 \( x \) 在区间 \( (0,2) \) 内变化时，函数值 \( x^2 \) 会覆盖区间 \( (0,4) \)，但不会取到端点 \( 0 \) 和 \( 4 \)。
因此，像集的闭包为
$$ Cl(f(A))=[0,4] $$
根据定理，只要 \( x \in Cl(A) \)，就一定有 \( f(x)\in Cl(f(A)) \)。例如：
- 当 \( x=0 \) 时，\( f(0)=0 \)，而 \( 0\in Cl(f(A)) \)
- 当 \( x=2 \) 时，\( f(2)=4 \)，而 \( 4\in Cl(f(A)) \)
- 对于任意 \( 0
这个例子表明，即使是闭包中的边界点，在连续映射之后仍然对应于像集闭包中的点。因此，连续映射确实保持了闭包关系。
证明
设 \( f:X\to Y \) 是连续映射，其中 \( x\in X \)，且 \( A\subset X \)。
为了证明结论成立，我们采用逆否命题的方法。
假设
$$ f(x)\notin Cl(f(A)) $$
根据闭包的定义，这意味着存在一个包含 \( f(x) \) 的开邻域 \( B\subseteq Y \)，满足
$$ B\cap f(A)=\emptyset $$
也就是说，在 \( f(x) \) 的附近可以找到一个开集，其中完全没有来自 \( f(A) \) 的点。
由于 \( f \) 是连续映射，开集 \( B \) 的原像
$$ f^{-1}(B) $$
仍然是 \( X \) 中的开集，并且包含点 \( x \)。
同时，由于 \( B \) 与 \( f(A) \) 没有交集，因此
$$ f^{-1}(B)\cap A=\emptyset $$
换句话说，在点 \( x \) 的某个开邻域内，没有任何属于集合 \( A \) 的点。
根据闭包的定义，这说明
$$ x\notin Cl(A) $$
于是得到
$$ f(x)\notin Cl(f(A)) \Longrightarrow x\notin Cl(A) $$
这正是命题
$$ x\in Cl(A) \Longrightarrow f(x)\in Cl(f(A)) $$
的逆否命题。
由于一个命题与其逆否命题在逻辑上等价，因此原命题成立。
说明：证明的关键在于连续映射的基本性质，即开集的原像仍然是开集。如果 \( f(x) \) 无法被 \( f(A) \) 中的点逼近，那么通过原像可以推出 \( x \) 也无法被 \( A \) 中的点逼近。正是这种性质保证了连续映射能够保持闭包关系。
从更广泛的角度来看，这一定理体现了连续映射对拓扑结构的保持作用。虽然连续映射可能改变距离、长度甚至形状，但它不会破坏由邻域和闭包所描述的基本拓扑关系。这也是连续映射在拓扑学中如此重要的原因之一。
