连续映射保持数列收敛性定理

设 \( f: X \to Y \) 为连续映射，且 \( X \) 中的点列 \( x_1, x_2, \dots \) 收敛于点 \( x \)。那么，\( Y \) 中对应的像点列 \( f(x_1), f(x_2), \dots \) 也收敛于 \( f(x) \)。

也就是说，连续映射不会改变数列的收敛性。

如果点列 \( x_n \) 不断趋近于 \( x \)，那么经过连续映射后得到的函数值 \( f(x_n) \) 也会不断趋近于 \( f(x) \)。这一性质是拓扑学和分析学中的一个基本结论，也是研究连续映射的重要工具。

一个简单例子

考虑函数 \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)，定义为 \( f(x)=2x \)，再取数列 \( x_n=\frac{1}{n} \)，其中 \( n\in\mathbb{N} \)。

由于

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=0 $$

因此，数列 \( (x_n) \) 收敛于 \( 0 \)。

它的前几项分别是

$$ x_1=1,\qquad x_2=\frac{1}{2},\qquad x_3=\frac{1}{3},\qquad \dots $$

随着 \( n \) 的增大，各项都会越来越接近 \( 0 \)。

现在把函数 \( f \) 作用于数列的每一项：

$$ f(x_1)=2 $$

$$ f(x_2)=1 $$

$$ f(x_3)=\frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

于是得到新的数列

$$ f(x_n)=2x_n=2,\;1,\;\frac{2}{3},\;\dots $$

显然，这个新数列同样收敛于 \( 0 \)。由于

$$ f(0)=0 $$

因此

$$ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(0)。$$

这个例子直观地说明了连续映射保持数列收敛性的结论。

证明

下面利用连续映射的定义证明这一结论。

根据拓扑学中连续映射的定义，\( Y \) 中任意开集在映射 \( f \) 下的原像都是 \( X \) 中的开集。

我们的目标是证明：对于 \( f(x) \) 的任意邻域 \( U \)，当 \( n \) 足够大时，总有 \( f(x_n)\in U \)。

步骤 1：取 \( f(x) \) 的任意邻域

设 \( U \) 是包含 \( f(x) \) 的任意一个开邻域。

只需证明，当 \( n \) 足够大时，所有的 \( f(x_n) \) 都落在 \( U \) 内即可。

步骤 2：考察原像

由于 \( f \) 连续，所以

$$ f^{-1}(U) $$

是 \( X \) 中的开集。

又因为 \( f(x)\in U \)，所以

$$ x\in f^{-1}(U)。$$

因此，\( f^{-1}(U) \) 是点 \( x \) 的一个开邻域。

步骤 3：利用数列收敛

已知数列 \( (x_n) \) 收敛于 \( x \)。根据数列收敛的定义，对于 \( x \) 的任意邻域，都存在一个自然数 \( N \)，使得当 \( n\ge N \) 时，均有

$$ x_n\in f^{-1}(U)。$$

步骤 4：得到结论

由原像的定义可知

$$ x_n\in f^{-1}(U)\Longleftrightarrow f(x_n)\in U。$$

因此，当 \( n\ge N \) 时，所有的 \( f(x_n) \) 都属于邻域 \( U \)。

结论

由于对于 \( f(x) \) 的任意邻域 \( U \)，都存在自然数 \( N \)，使得当 \( n\ge N \) 时，\( f(x_n)\in U \)，因此按照数列收敛的定义，有

$$ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)。$$

这就证明了连续映射保持数列收敛性：如果数列 \( (x_n) \) 收敛于 \( x \)，那么它的像点列 \( (f(x_n)) \) 必然收敛于 \( f(x) \)。这一结论在拓扑学、实分析和泛函分析中都有着广泛的应用。