连续函数的复合定理

设 $ f: X \to Y $ 和 $ g: Y \to Z $ 都是连续映射，则它们的复合映射 $ g \circ f: X \to Z $ 仍然是连续映射。

连续函数的复合定理是拓扑学和数学分析中的一个基本结论。它说明，只要两个函数都是连续的，那么按顺序将它们复合起来，所得的新函数仍然保持连续性。

设有两个连续映射：

先将元素通过函数 $ f $ 映射到集合 $ Y $，再通过函数 $ g $ 映射到集合 $ Z $，最终得到复合映射 $ g \circ f $。根据该定理，这个复合映射依然是连续的。

简单来说，连续性在函数复合过程中不会丢失。

一个简单的例子

下面通过一个具体例子来说明这一结论。

设

$$ f(x)=x^2,\qquad x\in\mathbb{R} $$

以及

$$ g(y)=\frac{y}{2},\qquad y\in\mathbb{R} $$

这两个函数都在整个实数集 $ \mathbb{R} $ 上连续。

将它们复合后，可以得到：

$$ (g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{x^2}{2} $$

由于 $ x^2 $ 是多项式函数，而将函数乘以常数不会改变其连续性，因此复合函数 $ \frac{x^2}{2} $ 在整个 $ \mathbb{R} $ 上仍然连续。

这个例子直观地说明了连续函数复合定理：两个连续函数依次作用后，得到的新函数依旧是连续函数。

下面利用连续映射的定义给出严格证明。

设

且二者都是连续映射。

任取拓扑空间 $ Z $ 中的一个开集 $ U $。要证明复合映射 $ g\circ f $ 连续，只需证明它的原像 $ (g\circ f)^{-1}(U) $ 是 $ X $ 中的开集。

由于 $ g $ 连续，所以

$$ g^{-1}(U) $$

是 $ Y $ 中的开集。

又由于 $ f $ 连续，因此

$$ f^{-1}\!\left(g^{-1}(U)\right) $$

也是 $ X $ 中的开集。

另一方面，根据复合映射原像的性质，有

$$ (g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}\!\left(g^{-1}(U)\right) $$

因此，$ (g\circ f)^{-1}(U) $ 必然是 $ X $ 中的开集。

由于上述结论对 $ Z $ 中任意开集都成立，因此根据连续映射的定义，可以得出复合映射 $ g\circ f $ 是连续映射。

证毕。