连续映射未必是开映射

连续映射 $ f: X \to Y $ 并不一定会把 $ X $ 中的开集映射成 $ Y $ 中的开集。

在拓扑学中，连续性和开性是两个经常同时出现、却容易混淆的概念。许多初学者会误以为连续映射能够自动保持开集的性质，但事实并非如此。

因此，连续映射未必是开映射。

什么是开映射？ 开映射（open map）$ f: X \to Y $ 是指满足以下条件的映射：$ X $ 中的每一个开集，其像 $ f(U) $ 都是 $ Y $ 中的开集。

换句话说，连续映射与开映射并不是同一个概念。一个映射即使处处连续，也可能无法把开集映射为开集。

一个典型例子

考虑实数集 $ \mathbb{R} $ 上的映射

$$ f(x)=x^2 $$

这是一个大家非常熟悉的函数，而且它在整个实数轴上都是连续的。

现在取开区间 $ (-2,2) $。这个集合包含所有满足 \( -2

接下来考察该开集在映射 $ f(x)=x^2 $ 下的像。

$$ f(-2)=(-2)^2=4 \\ f(0)=0^2=0 \\ f(2)=2^2=4 $$

由此可知，区间 $ (-2,2) $ 的像为

$$ [0,4) $$

然而，$ [0,4) $ 并不是实数空间 $ \mathbb{R} $ 中的开集。

原因在于，虽然 $ 0 $ 属于该区间，但不存在一个完全包含于 $ [0,4) $ 内的 $ 0 $ 的开邻域。任何以 $ 0 $ 为中心的开区间都会包含负数，因此一定会超出集合 $ [0,4) $ 的范围。

也就是说，$ 0 $ 不是 $ [0,4) $ 的内点，因此 $ [0,4) $ 不是开集。

这个例子清楚地说明：连续映射完全有可能把一个开集映射成非开集。

因此，虽然 $ f(x)=x^2 $ 在定义域上处处连续，但它并不是一个开映射。

连续性与开性都涉及开集，但它们关注的是不同方向上的性质，因此不能混为一谈。

连续映射
映射 $ f: X \to Y $ 称为连续映射，当且仅当 $ Y $ 中每一个开集的原像在 $ X $ 中仍然是开集。
连续性关注的是"原像"。也就是说，我们先在陪域 $ Y $ 中选取一个开集，然后通过 $ f $ 把它拉回到定义域 $ X $。如果得到的集合始终是开集，那么 $ f $ 就是连续的。
开映射
映射 $ f: X \to Y $ 称为开映射，当且仅当 $ X $ 中每一个开集的像在 $ Y $ 中仍然是开集。
开性关注的是"像"。也就是说，我们从定义域 $ X $ 中选取一个开集，并通过 $ f $ 将其映射到陪域 $ Y $。如果得到的像始终是开集，那么 $ f $ 就是开映射。

从直观上看，连续性研究的是开集如何沿着映射"向后追溯"，而开性研究的是开集如何沿着映射"向前传递"。两者描述的是完全不同的性质。

因此，一个映射可以连续但不是开映射，也可以是开映射但不连续。只有在某些特殊情况下，二者才会同时成立。

理解这一区别，对于学习拓扑学中的连续映射、商映射、同胚以及其他重要概念都非常重要。