Замыкание множества как объединение множества и его точек накопления
Замыкание множества \( A \) в топологическом пространстве \( X \), обозначаемое \(\text{Cl}(A)\), совпадает с объединением множества \( A \) и множества \( A' \), состоящего из его точек накопления. $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Эта теорема даёт интуитивно понятное и одновременно строгое объяснение того, что именно добавляется к множеству при переходе к его замыканию.
В топологии замыкание множества \( A \) включает не только точки, принадлежащие \( A \), но и все точки, которые нельзя «отделить» от него с помощью окрестностей.
Важно помнить, что точки накопления могут не принадлежать самому множеству. Именно они образуют «границу приближения» к \( A \).
Из теоремы следует критерий замкнутости: множество \( A \) является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои точки накопления. $$ A \text{ замкнуто } \Leftrightarrow A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Иначе говоря, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием.
Практический пример
Рассмотрим множество \( A = (0, 1) \) в пространстве действительных чисел \(\mathbb{R}\) со стандартной топологией.
$$ A = (0,1) $$
Это открытый интервал, содержащий все действительные числа строго между 0 и 1. Граничные точки 0 и 1 в множество не входят.
Определим точки накопления множества \( A \):
- Каждая точка \( x \in (0,1) \) является точкой накопления, поскольку в любой окрестности точки \( x \) находятся другие точки множества \( A \).
- Точка 0 является точкой накопления множества \( A \), так как сколь угодно близко к 0 расположены точки из интервала \( (0,1) \).
- Аналогично, точка 1 также является точкой накопления множества \( A \).
Следовательно,
$$ A' = [0,1] $$
Замыкание множества:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Поскольку \( A \ne \text{Cl}(A) \), исходное множество \( A \) не является замкнутым.
Пример 2
Теперь рассмотрим множество \( B = [0, 1] \) в том же пространстве \( \mathbb{R} \).
$$ B = [0,1] $$
Это замкнутый интервал, содержащий все точки от 0 до 1 включительно.
Точки накопления множества \( B \):
- Любая точка \( x \in (0,1) \) является точкой накопления.
- Точки 0 и 1 также являются точками накопления, так как их окрестности содержат точки множества \( B \).
Следовательно,
$$ B' = [0,1] $$
Замыкание множества:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Здесь выполняется равенство \( B = \text{Cl}(B) \), значит множество \( B \) замкнуто.
Доказательство
Докажем, что
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Напомним определения:
- Замыкание множества \( A \): пересечение всех замкнутых множеств, содержащих \( A \).
- Точка накопления: точка \( x \in X \), в любой окрестности которой есть точки множества \( A \), отличные от \( x \).
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
По определению \( A \subseteq \text{Cl}(A) \).
Пусть \( x \in A' \). Любая окрестность точки \( x \) содержит точки множества \( A \).
Предположим, что \( x \notin \text{Cl}(A) \). Тогда существует окрестность \( U \), не пересекающаяся с \( A \), что противоречит определению точки накопления.
Следовательно,
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Отсюда
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Пусть \( x \in \text{Cl}(A) \).
Если \( x \in A \), утверждение очевидно.
Если \( x \notin A \), любая окрестность точки \( x \) пересекается с \( A \). Значит \( x \) является точкой накопления.
Следовательно,
\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]
3] Заключение
Мы доказали оба включения:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
Следовательно,
\[ \text{Cl}(A) = A \cup A' \]
