닫힌 집합의 특성

위상공간에서 집합 $ A $는 그 폐포가 $ A $와 같을 때, 그리고 그럴 때에만 닫힌 집합이다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다. $$ A = \text{Cl}(A) $$

실용적인 예

표준 위상을 갖는 실수 공간 $ \mathbb{R} $에서 집합 $ A = [0, 1] $을 살펴보자.

집합이 닫혀 있다는 말은, 그 집합이 자신의 모든 극한점을 빠짐없이 포함하고 있다는 뜻이다. 집합 $ A = [0, 1] $의 극한점은 구간의 내부에 있는 모든 점들뿐만 아니라, 양 끝점인 $ 0 $과 $ 1 $도 포함한다.

집합 $ A $는 이 모든 점들을 이미 포함하고 있으므로, 자연스럽게 닫힌 집합이 된다.

이 사실을 폐포의 정의를 통해서도 확인해 보자.

표준 위상에서 $ A $의 폐포는 집합 자체와 동일하며, 즉 $ \text{Cl}(A) = [0, 1] $이다. 이는 $ [0, 1] $이 자신의 모든 극한점을 포함하고 있기 때문이다.

$$ A = \text{Cl}(A) $$

이 예를 통해 $ A = [0, 1] $이 닫힌 집합임을 분명히 확인할 수 있다.

또한, 집합 $ A $가 닫힌 집합일 필요충분조건이 바로 $ A = \text{Cl}(A) $라는 사실도 함께 이해할 수 있다.

이제 위의 성질이 항상 성립함을 일반적으로 증명해 보자.

폐포의 정의: 집합 $ A $의 폐포 $ \text{Cl}(A) $는 $ A $에 속한 모든 점들과, $ A $의 극한점들을 모두 모은 집합이다. 이를 수식으로 쓰면 다음과 같다. \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid x의 모든 근방이 A의 한 점을 포함한다 \} \]
닫힌 집합의 정의: 집합 $ A $가 자신의 모든 극한점을 포함할 때, $ A $를 닫힌 집합이라고 한다.

이제 두 방향의 명제를 각각 증명한다.

$ A $가 닫힌 집합이라면, 정의에 따라 $ A $는 자신의 모든 극한점을 포함한다.

즉, $ A $에 속하지 않는 극한점은 존재하지 않는다.

폐포는 집합 $ A $와 그 극한점들의 합집합이므로, 다음이 성립한다.

$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{A의 극한점들} \} = A $$

따라서 $ A = \text{Cl}(A) $임을 알 수 있다.

$ A = \text{Cl}(A) $라는 조건은, $ A $가 자신의 모든 점들과 모든 극한점을 이미 포함하고 있다는 뜻이다.

이는 곧 정의에 따라 $ A $가 닫힌 집합임을 의미한다.