Gabungan Batas dan Interior Suatu Himpunan
Dalam topologi, terdapat hubungan penting antara batas, interior, dan closure suatu himpunan. Secara umum berlaku: $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Artinya, jika kita menggabungkan semua titik interior dan semua titik batas dari \(A\), hasilnya adalah closure himpunan tersebut.
Contoh
Perhatikan himpunan \( A = (0, 1) \) pada ruang topologi \(\mathbb{R}\) dengan topologi standar.
Interior \(A\) adalah interval terbuka (0,1), karena setiap titik di dalamnya memiliki lingkungan yang tetap berada di dalam \(A\).
$$ Int(A) = (0, 1) $$
Closure \(A\) adalah interval tertutup [0,1], yang mencakup seluruh titik di \(A\) beserta titik batasnya.
$$ Cl(A) = [0, 1] $$
Batas \(A\) terdiri atas titik 0 dan 1.
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Jika kita gabungkan batas dan interior:
$$ \partial A \cup Int(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$
$$ \partial A \cup Int(A) = Cl(A) $$
Contoh ini memperlihatkan bahwa closure memuat seluruh titik interior sekaligus seluruh titik batas.
Bukti
Sifat ini dapat dipahami langsung dari definisi dasar.
Closure \(A\) didefinisikan sebagai himpunan yang mencakup semua titik di \(A\) beserta titik limitnya:
$$ Cl(A) = A \cup \partial A $$
Sementara itu, himpunan \(A\) sendiri dapat diuraikan menjadi dua bagian:
$$ A = Int(A) \cup (A \cap \partial A) $$
Namun, titik interior tidak pernah termasuk titik batas:
$$ Int(A) \cap \partial A = \emptyset $$
Akibatnya, seluruh titik di \(A\) yang bukan titik batas adalah titik interior.
Karena closure mencakup:
- semua titik interior,
- semua titik batas,
maka closure dapat ditulis sebagai:
$$ Cl(A) = Int(A) \cup \partial A $$
Dengan demikian terbukti bahwa gabungan batas dan interior suatu himpunan sama dengan closure himpunan tersebut.
Dan seterusnya.
