Ekivalensi Topologis pada Ruang Produk

Jika \( X \), \( Y \), dan \( Z \) adalah ruang topologi, maka produk $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ semuanya saling ekivalen secara topologis. $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Artinya, bagaimana pun cara kita menyusun atau mengelompokkan ruang-ruang dalam suatu produk Kartesius, struktur topologinya tetap sama.

Dengan kata lain, produk Kartesius pada ruang topologi bersifat asosiatif.

Catatan: Sifat ini sangat berguna dalam praktik, karena memungkinkan kita bekerja dengan produk dari beberapa ruang topologi tanpa harus memperhatikan urutan atau cara pengelompokannya.

Contoh

Untuk melihat ide ini secara konkret, kita gunakan ruang topologi yang paling familiar, yaitu \(\mathbb{R}\) (bilangan real dengan topologi standar) dan \(\mathbb{R}^2\) (bidang Kartesius dengan topologi produk).

Ambil tiga salinan ruang \(\mathbb{R}\):

• \(X = \mathbb{R}\)
• \(Y = \mathbb{R}\)
• \(Z = \mathbb{R}\)

Sekarang perhatikan tiga cara berbeda untuk membentuk produk:

1. Produk (X×Y)×Z
   Kita mulai dengan menghitung \(X \times Y\), yang menghasilkan \(\mathbb{R}^2\). Kemudian ruang ini dikalikan dengan \(Z\), sehingga diperoleh \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}\). Elemen-elemennya berbentuk \(((x, y), z)\), dengan \(x, y, z \in \mathbb{R}\), dan secara alami dapat dipandang sebagai titik di \(\mathbb{R}^3\).
2. Produk X×(Y×Z)
   Kali ini kita mulai dari \(Y \times Z\), yang juga menghasilkan \(\mathbb{R}^2\). Selanjutnya, kita ambil produk dengan \(X\), sehingga diperoleh \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2\). Elemen-elemennya berbentuk \((x, (y, z))\), dengan \(x, y, z \in \mathbb{R}\), dan lagi-lagi dapat diidentifikasi dengan \(\mathbb{R}^3\).
3. Produk X×Y×Z
   Terakhir, kita langsung membentuk produk dari ketiga ruang tersebut. Hasilnya adalah himpunan titik \((x, y, z)\), dengan \(x, y, z \in \mathbb{R}\), yang secara langsung merupakan \(\mathbb{R}^3\).

Dalam ketiga pendekatan ini, kita selalu memperoleh ruang yang sama, yaitu ruang yang homeomorfik dengan \(\mathbb{R}^3\).

Perbedaan dalam tanda kurung atau urutan perhitungan tidak memengaruhi hasil akhirnya. Semua konstruksi tersebut menghasilkan ruang topologi yang ekivalen.

Contoh ini menunjukkan bahwa, dalam konteks ruang produk, cara pengelompokan tidak mengubah hasil akhir.