Teorema Interior Produk Kartesius

Diberikan dua himpunan \(A\) dan \(B\) yang masing-masing berada dalam ruang topologi \(X\) dan \(Y\), interior dari produk Kartesius \(A \times B\) sama dengan produk dari interior masing-masing himpunan tersebut. Secara formal: $$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Teorema ini adalah salah satu hasil dasar dalam topologi produk. Intinya sederhana tetapi sangat penting: untuk memahami struktur interior dari sebuah produk Kartesius, kita cukup melihat interior dari masing-masing himpunan penyusunnya.

Contoh

Ambil dua ruang topologi \(X = \mathbb{R}\) dan \(Y = \mathbb{R}\), serta dua himpunan bagian \(A = (0, 2)\) dan \(B = (1, 3)\).

Kedua himpunan ini adalah interval terbuka pada garis bilangan real.

Karena keduanya sudah terbuka, interiornya adalah himpunan itu sendiri:

$$ \operatorname{Int}(A) = (0, 2) $$

$$ \operatorname{Int}(B) = (1, 3) $$

Sekarang kita bentuk produk Kartesius dari interior:

$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

Himpunan ini berisi semua pasangan \((x, y)\) dengan \(x\) di antara 0 dan 2, serta \(y\) di antara 1 dan 3:

$$ \{(x, y) \mid x \in (0, 2) \text{ dan } y \in (1, 3)\} $$

Secara geometris, himpunan ini adalah sebuah persegi panjang terbuka pada bidang \(\mathbb{R}^2\).

Jika kita langsung menghitung interior dari produk Kartesius \(A \times B\), kita memperoleh hasil yang sama:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

Jadi, dalam contoh ini terlihat jelas bahwa:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Contoh ini memberi gambaran konkret tentang bagaimana teorema bekerja.

Pembuktian

Pembuktian dilakukan dengan menunjukkan dua arah inklusi. Ini adalah pendekatan standar dalam topologi.

1] \(\operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B)\)

Ambil pasangan \((x, y)\) dengan \(x \in \operatorname{Int}(A)\) dan \(y \in \operatorname{Int}(B)\).

Karena \(x\) berada di interior \(A\), terdapat himpunan terbuka \(U \subseteq X\) dengan \(x \in U \subseteq A\).

Demikian pula, terdapat himpunan terbuka \(V \subseteq Y\) dengan \(y \in V \subseteq B\).

Produk \(U \times V\) adalah himpunan terbuka dalam ruang produk \(X \times Y\), dan memuat \((x, y)\).

Karena \(U \times V \subseteq A \times B\), maka \((x, y)\) termasuk dalam interior \(A \times B\).

2] \(\operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B)\)

Ambil \((x, y) \in \operatorname{Int}(A \times B)\).

Ini berarti ada himpunan terbuka \(W \subseteq X \times Y\) dengan \((x, y) \in W \subseteq A \times B\).

Dari struktur topologi produk, kita dapat menemukan himpunan terbuka \(U \subseteq X\) dan \(V \subseteq Y\) sehingga:

$$ (x, y) \in U \times V \subseteq W $$

Karena \(U \times V \subseteq A \times B\), maka \(U \subseteq A\) dan \(V \subseteq B\).

Akibatnya, \(x \in \operatorname{Int}(A)\) dan \(y \in \operatorname{Int}(B)\).

Dengan demikian, \((x, y) \in \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B)\).

Kesimpulan

Kedua inklusi telah terbukti, sehingga diperoleh:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Teorema ini menunjukkan bahwa operasi interior "berperilaku baik" terhadap produk Kartesius, sebuah sifat yang sangat berguna dalam analisis topologi.