Teorema Subruang pada Produk Ruang Topologi
Misalkan kita memiliki dua himpunan bagian \(A\) dan \(B\) masing-masing dari ruang topologi \(X\) dan \(Y\), $$ A \subset X $$ $$ B \subset Y $$ maka topologi pada hasil kali Kartesius \(A \times B\), jika dipandang sebagai subruang dari \(X \times Y\), bertepatan dengan topologi produk pada \(A \times B\) yang dibangun dari topologi pada \(A\) dan \(B\) yang diinduksi dari \(X\) dan \(Y\). $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$
Di sini, \(\tau_{A \times B}^{\text{sub}}\) adalah topologi subruang pada \(A \times B\) yang diinduksi oleh \(X \times Y\),
sedangkan \(\tau_A^{\text{sub}}\) dan \(\tau_B^{\text{sub}}\) adalah topologi subruang pada \(A\) dan \(B\) yang masing-masing diinduksi dari \(X\) dan \(Y\).
Intinya sederhana, ada dua cara untuk mendefinisikan topologi pada \(A \times B\), dan keduanya menghasilkan hal yang sama.
Kita bisa melihat \(A \times B\) sebagai bagian dari \(X \times Y\), lalu mengambil topologinya dari sana. Atau, kita bisa langsung membangun topologi produk dari \(A\) dan \(B\) menggunakan topologi yang sudah mereka miliki. Hasil akhirnya tetap identik.
Artinya, apa pun pendekatan yang dipilih, struktur topologi pada \(A \times B\) tidak berubah.
Contoh Praktis
Untuk memahami ide ini dengan lebih jelas, mari kita lihat sebuah contoh sederhana.
Ambil dua ruang topologi \(X\) dan \(Y\). Bayangkan bidang Kartesius, di mana \(X\) adalah sumbu \(x\) dan \(Y\) adalah sumbu \(y\).
Sekarang, ambil dua himpunan bagian, yaitu \(A \subset X\) dan \(B \subset Y\).
Misalnya, \(A\) adalah interval pada sumbu \(x\), seperti \([1, 2]\), dan \(B\) adalah interval pada sumbu \(y\), seperti \([3, 4]\).
Hasil kali Kartesius \(A \times B\) terdiri dari semua pasangan \((x, y)\) dengan \(x \in A\) dan \(y \in B\).
Secara geometris, himpunan ini membentuk sebuah persegi panjang pada bidang, dengan \(x\) dari 1 hingga 2 dan \(y\) dari 3 hingga 4.
Sekarang kita lihat dua cara untuk memberi topologi pada \(A \times B\):
- Topologi Subruang
Kita anggap \(A \times B\) sebagai bagian dari \(X \times Y\), yaitu seluruh bidang. Lalu kita ambil topologi dari \(X \times Y\) dan membatasinya pada \(A \times B\). - Topologi Produk
Kita juga bisa langsung membangun topologi pada \(A \times B\) dari topologi pada \(A\) dan \(B\). Dalam hal ini, \(A\) dan \(B\) masing-masing mewarisi topologi dari \(X\) dan \(Y\), kemudian kita bentuk topologi produk pada \(A \times B\).
Kedua cara ini menghasilkan topologi yang sama.
Jadi, tidak peduli metode mana yang digunakan, kita akan mendapatkan struktur topologi yang identik pada \(A \times B\).
Dan seterusnya...
