Lema Penempelan
Misalkan \( X \) adalah suatu ruang topologi dengan dua himpunan tertutup \( A \) dan \( B \) sehingga \( A \cup B = X \). Jika fungsi \( f: A \to Y \) dan \( g: B \to Y \) kontinu menuju suatu ruang topologi \( Y \), dan keduanya memiliki nilai yang sama pada daerah irisan, yaitu \( f(x) = g(x) \) untuk setiap \( x \in A \cap B \), maka fungsi \( h: X \to Y \) yang didefinisikan sebagai berikut: $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{jika } x \in A, \\ g(x) & \text{jika } x \in B, \end{cases} $$ juga merupakan fungsi kontinu.
Lema penempelan adalah salah satu hasil penting dalam topologi yang memungkinkan kita membangun fungsi kontinu baru dari beberapa fungsi kontinu yang lebih kecil. Ide dasarnya sangat sederhana. Jika dua fungsi kontinu “cocok” pada bagian domain yang saling beririsan, maka keduanya dapat digabungkan menjadi satu fungsi kontinu.
Konsep ini sering digunakan dalam topologi, geometri, dan analisis untuk menyusun fungsi secara bertahap pada bagian-bagian ruang yang berbeda.
Intuisi dasar
Bayangkan sebuah ruang dibagi menjadi dua bagian tertutup, yaitu \( A \) dan \( B \). Pada masing-masing bagian tersebut kita mendefinisikan fungsi yang berbeda:
- fungsi \( f \) pada himpunan \( A \),
- fungsi \( g \) pada himpunan \( B \).
Jika kedua fungsi tersebut kontinu dan memberikan nilai yang sama pada daerah irisan \( A \cap B \), maka kita dapat “menempelkan” keduanya untuk memperoleh sebuah fungsi tunggal yang tetap kontinu pada seluruh ruang.
Tanpa syarat kesesuaian pada irisan, fungsi gabungan dapat mengalami loncatan atau diskontinuitas pada titik pertemuan kedua domain.
Contoh praktis
Perhatikan dua fungsi berikut:
- \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \), dengan \( f(x)=x \),
- \( g: [1,2] \to \mathbb{R} \), dengan \( g(x)=2-x \).
Kedua fungsi tersebut kontinu pada domainnya masing-masing.
Sekarang kita periksa syarat-syarat dalam lema penempelan.
- Domain berupa himpunan tertutup
Interval \( [0,1] \) dan \( [1,2] \) merupakan himpunan tertutup di \( \mathbb{R} \). - Gabungan domain mencakup seluruh interval
Jika kita ambil: $$ A=[0,1], \qquad B=[1,2], $$ maka: $$ A \cup B = [0,2]. $$ - Kedua fungsi cocok pada irisan
Irisan kedua domain adalah: $$ A \cap B = \{1\}. $$ Sekarang kita hitung nilai kedua fungsi di titik tersebut:
- \( f(1)=1 \)
- \( g(1)=2-1=1 \)
Karena: $$ f(1)=g(1), $$ maka syarat kesesuaian pada daerah irisan terpenuhi.
Semua syarat dalam lema penempelan telah dipenuhi.
Selanjutnya kita definisikan fungsi baru:
$$ h:[0,2] \to \mathbb{R} $$
dengan:
$$ h(x)=\begin{cases} x & \text{jika } x \in [0,1], \\ 2-x & \text{jika } x \in [1,2]. \end{cases} $$
Fungsi \( h \) kontinu karena:
- pada interval \( [0,1] \), fungsi \( h \) sama dengan fungsi kontinu \( f(x)=x \),
- pada interval \( [1,2] \), fungsi \( h \) sama dengan fungsi kontinu \( g(x)=2-x \),
- di titik pertemuan \( x=1 \), kedua fungsi memiliki nilai yang sama.
Akibatnya, tidak ada loncatan pada titik sambungan, sehingga fungsi tetap kontinu pada seluruh interval \( [0,2] \).
Interpretasi geometris
Secara geometris, grafik fungsi \( h(x) \) terdiri dari dua segmen garis:
- pada interval \( [0,1] \), grafik berupa garis lurus yang meningkat,
- pada interval \( [1,2] \), grafik berupa garis lurus yang menurun.
Kedua segmen tersebut bertemu tepat di titik \( (1,1) \). Karena titik sambungannya cocok, grafik tidak terputus dan tetap kontinu.
Pembuktian
Untuk membuktikan bahwa fungsi \( h \) kontinu, kita gunakan definisi kekontinuan melalui pra-citra himpunan tertutup.
Kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap himpunan tertutup \( C \subseteq Y \), pra-citra:
$$ h^{-1}(C) $$
merupakan himpunan tertutup di \( X \).
Karena fungsi \( h \) didefinisikan menggunakan dua fungsi berbeda pada dua domain berbeda, maka:
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C). $$
Di sini:
- \( f^{-1}(C) \) adalah himpunan titik di \( A \) yang dipetakan oleh \( f \) ke dalam \( C \),
- \( g^{-1}(C) \) adalah himpunan titik di \( B \) yang dipetakan oleh \( g \) ke dalam \( C \).
Karena \( f \) kontinu dan \( C \) tertutup di \( Y \), maka \( f^{-1}(C) \) tertutup di \( A \).
Karena \( A \) sendiri tertutup di \( X \), maka \( f^{-1}(C) \) juga tertutup di \( X \).
Dengan cara yang sama, karena \( g \) kontinu dan \( B \) tertutup di \( X \), maka \( g^{-1}(C) \) juga tertutup di \( X \).
Sekarang perhatikan bahwa:
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C) $$
merupakan gabungan dari dua himpunan tertutup di \( X \).
Dalam ruang topologi, gabungan hingga dari himpunan tertutup tetap merupakan himpunan tertutup. Oleh karena itu, \( h^{-1}(C) \) tertutup di \( X \).
Dengan demikian, fungsi \( h \) kontinu pada \( X \). Ini menyelesaikan pembuktian lema penempelan.
Dan seterusnya.
