Irisan antara Batas dan Himpunan dalam Topologi
Dalam topologi, irisan antara batas suatu himpunan \( \partial A \) dan himpunan itu sendiri \( A \) bernilai kosong jika dan hanya jika \( A \) adalah himpunan terbuka: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ terbuka} $$
Secara intuitif, himpunan terbuka adalah himpunan yang tidak memuat titik batas. Semua titiknya benar-benar berada “di dalam”, bukan di tepi.
Konsekuensinya jelas. Jika \( A \) terbuka, maka \( A \) dan batasnya tidak memiliki elemen yang sama.
Contoh Praktis
Ambil interval terbuka \((0, 1)\) pada garis bilangan real \(\mathbb{R}\) dengan topologi biasa.
$$ A = (0, 1) $$
Interval ini merupakan himpunan terbuka.
Batas himpunan didefinisikan sebagai irisan antara closure himpunan dan closure komplemennya:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
Closure dari \( A \):
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Closure dari komplemen \( A \):
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Maka batas \( A \):
$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Sekarang hitung irisan batas dengan himpunannya:
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Tidak ada kejutan. Titik batas \(0\) dan \(1\) memang tidak termasuk dalam interval terbuka.
Contoh 2
Perhatikan interval tertutup berikut:
$$ B = [0, 1] $$
Himpunan \( B \) adalah himpunan tertutup.
Closure dari \( B \):
$$ \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
Closure dari komplemen \( B \):
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Batas \( B \):
$$ \partial B = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) $$
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
Irisan batas dengan himpunan:
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
Berbeda dengan kasus sebelumnya, titik batas sekarang termasuk dalam himpunan.
Pembuktian
Kita buktikan implikasi dua arah dari sifat berikut:
(⇒) Jika \( \partial A \cap A = \emptyset \), maka \( A \) terbuka
Jika irisan batas dengan \( A \) kosong, berarti tidak ada titik \( A \) yang berada pada batas.
Dengan demikian, setiap titik di \( A \) memiliki neighborhood yang sepenuhnya termuat di dalam \( A \).
Ini persis definisi himpunan terbuka. Jadi \( A \) terbuka.
(⇐) Jika \( A \) terbuka, maka \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Karena \( A \) terbuka, setiap titik di \( A \) memiliki neighborhood yang tidak beririsan dengan \( X - A \).
Artinya, tidak ada titik \( A \) yang dapat menjadi titik batas.
Akibatnya:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Kesimpulan
Sebuah himpunan terbuka jika dan hanya jika tidak memiliki titik yang sekaligus merupakan titik batasnya.
Hubungan sederhana ini menjadi salah satu cara paling elegan untuk memahami konsep keterbukaan dalam topologi.
