Irisan antara Batas dan Interior Suatu Himpunan
Dalam topologi, batas \( \partial A \) dan interior \( \text{Int}(A) \) tidak memiliki elemen yang sama. Dengan kata lain: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Pernyataan ini menunjukkan bahwa titik-titik yang berada di “tepi” himpunan berbeda secara konseptual dari titik-titik yang benar-benar berada “di dalam” himpunan.
Contoh Numerik
Perhatikan ruang topologi \(\mathbb{R}\) dengan topologi standar. Pada ruang ini, himpunan terbuka direpresentasikan sebagai interval terbuka.
Ambil himpunan \(A = (0, 1)\), yaitu interval terbuka antara 0 dan 1.
Interior \(A\) terdiri atas semua titik yang memiliki lingkungan yang sepenuhnya berada di dalam \(A\). Karena \(A\) sendiri adalah interval terbuka, seluruh titik di dalamnya merupakan titik interior.
$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$
Closure dari \(A\) mencakup titik-titik di \(A\) beserta titik batasnya.
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Komplemen \(A\) di \(\mathbb{R}\) adalah:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Komplemen ini sudah merupakan himpunan tertutup, sehingga closure-nya tetap sama:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Menurut definisi, batas \(A\) adalah irisan closure \(A\) dan closure komplemennya:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Sekarang perhatikan irisan batas dan interior:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Tidak ada titik yang termasuk sekaligus dalam batas dan interior. Titik 0 dan 1 adalah titik batas, tetapi bukan bagian dari interior.
Contoh ini memperjelas bahwa:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Bukti
Sifat ini dapat dipahami langsung dari definisi batas dan interior.
Batas himpunan \(A\) didefinisikan sebagai:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
Artinya, setiap titik batas memiliki karakteristik khusus: setiap lingkungannya selalu beririsan dengan \(A\) dan juga dengan \(X - A\).
Ambil titik \(x \in \partial A\).
- \(x \in \text{Cl}(A)\), sehingga setiap lingkungan \(x\) beririsan dengan \(A\).
- \(x \in \text{Cl}(X - A)\), sehingga setiap lingkungan \(x\) juga beririsan dengan \(X - A\).
Karena semua lingkungan \(x\) memotong kedua himpunan, tidak ada lingkungan yang sepenuhnya berada di dalam \(A\).
Jadi, \(x\) tidak mungkin merupakan titik interior:
$$ x \notin \text{Int}(A) $$
Sebaliknya, ambil titik \(y \in \text{Int}(A)\).
Menurut definisi, ada lingkungan \(y\) yang seluruhnya berada di dalam \(A\).
Lingkungan ini tidak beririsan dengan \(X - A\), sehingga:
$$ y \notin \text{Cl}(X - A) $$
Akibatnya, \(y\) bukan titik batas:
$$ y \notin \partial A $$
Dengan demikian, batas dan interior tidak memiliki elemen yang sama.
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Dan seterusnya
