Teorema Kontinuitas pada Penutupan Himpunan

Misalkan $ f : X \to Y $ adalah fungsi kontinu dan $ A \subset X $ adalah suatu himpunan. Jika sebuah titik $ x \in X $ berada dalam penutupan himpunan $ A $ (yakni $ x \in Cl(A) $), maka citranya $ f(x) $ juga berada dalam penutupan citra himpunan $ f(A) $, yaitu $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Teorema ini merupakan salah satu sifat penting fungsi kontinu dalam topologi. Intinya, fungsi kontinu tidak merusak hubungan kedekatan antara titik dan himpunan. Jika suatu titik berada dalam penutupan sebuah himpunan, maka setelah dipetakan oleh fungsi kontinu, citranya tetap berada dalam penutupan citra himpunan tersebut.

Dengan kata lain, fungsi kontinu mempertahankan struktur topologis yang berkaitan dengan konsep penutupan himpunan.

Contoh
Pembuktian

Contoh

Untuk memahami teorema ini dengan lebih mudah, perhatikan fungsi kontinu $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ yang didefinisikan oleh

$$ f(x)=x^2 $$

dan himpunan

$$ A=(0,2) $$

Pada ruang topologi $ \mathbb{R} $, penutupan himpunan $ A $ adalah

$$ Cl(A)=[0,2] $$

Hal ini karena titik batas $ 0 $ dan $ 2 $ ditambahkan ke dalam himpunan. Meskipun kedua titik tersebut tidak termasuk dalam interval terbuka $ (0,2) $, keduanya merupakan titik limit dari himpunan tersebut.

Selanjutnya, citra himpunan $ A $ melalui fungsi $ f(x)=x^2 $ adalah

$$ f(A)=(0,4) $$

Karena semua nilai $ x^2 $ untuk $ x \in (0,2) $ berada di antara $ 0 $ dan $ 4 $, tanpa mencapai kedua nilai batas tersebut.

Penutupan citra tersebut adalah

$$ Cl(f(A))=[0,4] $$

karena titik batas $ 0 $ dan $ 4 $ juga harus disertakan.

Sekarang perhatikan beberapa titik pada $ Cl(A) $:

Jika $ x=0 $, maka $ f(0)=0 \in Cl(f(A)) $.
Jika $ x=2 $, maka $ f(2)=4 \in Cl(f(A)) $.
Jika \( 0

Contoh ini menunjukkan bahwa setiap titik dalam penutupan himpunan $ A $ dipetakan ke titik yang berada dalam penutupan citra himpunan tersebut. Inilah tepatnya yang dinyatakan oleh teorema.

Pembuktian

Misalkan $ f : X \to Y $ adalah fungsi kontinu, dengan $ x \in X $ dan $ A \subset X $.

Kita akan membuktikan teorema ini menggunakan metode kontraposisi.

Andaikan bahwa citra titik $ x $ tidak termasuk dalam penutupan himpunan $ f(A) $, yaitu

$$ f(x)\notin Cl(f(A)) $$

Berdasarkan definisi penutupan, terdapat suatu lingkungan terbuka $ B \subseteq Y $ yang memuat $ f(x) $ dan memenuhi

$$ B \cap f(A)=\emptyset $$

Artinya, terdapat lingkungan terbuka di sekitar $ f(x) $ yang sama sekali tidak beririsan dengan citra himpunan $ A $.

Karena $ f $ adalah fungsi kontinu, prapeta dari himpunan terbuka $ B $, yaitu $ f^{-1}(B) $, merupakan himpunan terbuka di $ X $ yang memuat titik $ x $.

Selain itu, karena $ B $ tidak beririsan dengan $ f(A) $, maka berlaku

$$ f^{-1}(B)\cap A=\emptyset $$

Dengan demikian, terdapat lingkungan terbuka di sekitar $ x $ yang tidak mengandung satu pun titik dari himpunan $ A $.

Berdasarkan definisi penutupan, hal ini berarti

$$ x\notin Cl(A) $$

Kita telah memperoleh implikasi

$$ f(x)\notin Cl(f(A)) \Rightarrow x\notin Cl(A) $$

Pernyataan tersebut merupakan kontraposisi dari teorema yang ingin dibuktikan. Oleh karena itu, diperoleh kesimpulan

$$ x\in Cl(A) \Rightarrow f(x)\in Cl(f(A)) $$

Catatan: Gagasan utama pembuktian ini sangat sederhana. Jika citra suatu titik tidak berada dalam penutupan $ f(A) $, maka terdapat lingkungan terbuka yang memisahkannya dari $ f(A) $. Karena fungsi bersifat kontinu, lingkungan tersebut dapat ditarik kembali ke ruang asal dan menghasilkan lingkungan terbuka yang memisahkan titik $ x $ dari himpunan $ A $. Akibatnya, $ x $ tidak mungkin berada dalam penutupan $ A $. Dengan menggunakan kontraposisi, teorema pun terbukti.

Dan seterusnya.