Teorema Kontinuitas dan Barisan Konvergen
Jika suatu fungsi \( f: X \to Y \) bersifat kontinu dan suatu barisan titik \( x_1, x_2, \dots \) di \( X \) konvergen ke titik \( x \), maka barisan nilai \( f(x_1), f(x_2), \dots \) akan konvergen ke \( f(x) \) di \( Y \).
Teorema ini merupakan salah satu hasil dasar dalam topologi dan analisis matematika. Intinya sederhana: fungsi kontinu mempertahankan konvergensi barisan.
Dengan kata lain, jika titik-titik \( x_n \) semakin mendekati \( x \), maka nilai-nilai fungsi \( f(x_n) \) juga akan semakin mendekati \( f(x) \).
Sifat ini menunjukkan bahwa fungsi kontinu tidak mengubah perilaku limit suatu barisan secara tiba-tiba. Ketika sebuah barisan mendekati suatu titik, citranya melalui fungsi kontinu juga akan mendekati citra titik tersebut.
Contoh Praktis
Misalkan fungsi \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) didefinisikan sebagai
$$ f(x) = 2x $$
dan diberikan barisan
$$ x_n = \frac{1}{n}, \qquad n \in \mathbb{N}. $$
Barisan \( (x_n) \) konvergen ke \( 0 \) ketika \( n \to \infty \).
Beberapa suku pertamanya adalah
$$ x_1 = 1, \qquad x_2 = \frac{1}{2}, \qquad x_3 = \frac{1}{3}, \dots $$
Semakin besar nilai \( n \), semakin dekat nilai \( x_n \) ke \( 0 \).
Sekarang terapkan fungsi \( f \) pada setiap suku barisan:
$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$
$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$
$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$
$$ ... $$
Dengan demikian diperoleh barisan baru
$$ f(x_n) = 2x_n $$
yaitu
$$ 2,\;1,\;\frac{2}{3},\dots $$
Barisan ini juga konvergen ke \( 0 \).
Karena
$$ f(0)=0, $$
maka diperoleh
$$ \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(0). $$
Hasil ini sesuai dengan pernyataan teorema dan memperlihatkan bagaimana fungsi kontinu mempertahankan konvergensi suatu barisan.
Pembuktian
Untuk membuktikan bahwa barisan \( (f(x_n)) \) konvergen ke \( f(x) \), kita menggunakan definisi kontinuitas dan definisi konvergensi barisan.
Menurut definisi kontinuitas, prapeta (inverse image) dari setiap himpunan terbuka di \( Y \) merupakan himpunan terbuka di \( X \).
Sifat inilah yang menghubungkan konvergensi di ruang asal \( X \) dengan konvergensi di ruang tujuan \( Y \).
Langkah 1: Ambil lingkungan sembarang dari \( f(x) \)
Misalkan \( U \) adalah suatu lingkungan sembarang dari \( f(x) \) di \( Y \).
Artinya, \( U \) merupakan himpunan terbuka yang memuat titik \( f(x) \).
Tujuan kita adalah menunjukkan bahwa semua suku \( f(x_n) \), mulai dari suatu indeks tertentu, berada di dalam \( U \).
Langkah 2: Tinjau prapeta \( U \)
Karena fungsi \( f \) kontinu, maka
$$ f^{-1}(U) $$
merupakan himpunan terbuka di \( X \).
Selain itu, karena \( f(x)\in U \), maka
$$ x \in f^{-1}(U). $$
Jadi, \( f^{-1}(U) \) adalah lingkungan terbuka dari titik \( x \).
Langkah 3: Gunakan konvergensi barisan \( (x_n) \)
Berdasarkan asumsi, barisan \( (x_n) \) konvergen ke \( x \).
Menurut definisi konvergensi, untuk setiap lingkungan dari \( x \), terdapat suatu bilangan asli \( N \) sehingga untuk semua \( n \geq N \), berlaku
$$ x_n \in \text{lingkungan tersebut}. $$
Karena \( f^{-1}(U) \) adalah lingkungan dari \( x \), maka terdapat suatu bilangan asli \( N \) sehingga
$$ x_n \in f^{-1}(U) $$
untuk setiap \( n \geq N \).
Langkah 4: Terapkan definisi prapeta
Dari
$$ x_n \in f^{-1}(U), $$
diperoleh bahwa
$$ f(x_n)\in U. $$
Dengan demikian, semua suku \( f(x_n) \) dengan indeks cukup besar berada di dalam lingkungan \( U \).
Kesimpulan
Kita telah menunjukkan bahwa untuk setiap lingkungan \( U \) dari \( f(x) \), terdapat suatu bilangan asli \( N \) sehingga
$$ f(x_n)\in U \qquad \text{untuk semua } n\geq N. $$
Menurut definisi konvergensi, hal ini berarti bahwa
$$ f(x_n)\to f(x). $$
Dengan demikian, terbukti bahwa fungsi kontinu mempertahankan konvergensi barisan. Jika suatu barisan \( (x_n) \) konvergen ke \( x \), maka barisan citranya \( (f(x_n)) \) akan konvergen ke \( f(x) \).
Teorema ini merupakan salah satu alasan mengapa fungsi kontinu memiliki peran penting dalam topologi dan analisis, karena perilaku limit tetap terjaga ketika titik-titik dipetakan melalui fungsi tersebut.
Dan seterusnya.
