Kontinuitas fungsi inklusi dalam topologi

Jika \( X \) adalah suatu ruang topologi dan \( Y \) merupakan subhimpunan dari \( X \), maka fungsi inklusi \( f : Y \to X \) didefinisikan oleh \( f(y) = y \) untuk setiap \( y \in Y \). Fungsi ini bersifat kontinu.

Fungsi inklusi adalah salah satu konsep dasar dalam topologi. Fungsi ini digunakan untuk "memasukkan" suatu subhimpunan \( Y \) ke dalam ruang yang lebih besar, yaitu \( X \), tanpa mengubah elemen-elemennya.

Dengan kata lain, setiap elemen di \( Y \) dipetakan ke elemen yang sama di dalam \( X \).

$$ f(y) = y $$

Meskipun terlihat sangat sederhana, fungsi inklusi memiliki peranan penting dalam topologi karena berkaitan langsung dengan konsep topologi subruang dan kontinuitas.

Catatan: Fungsi inklusi berbeda dari fungsi identitas. Fungsi identitas bekerja pada satu ruang yang sama, sedangkan fungsi inklusi memetakan elemen dari suatu subhimpunan ke ruang yang lebih besar.

Mengapa fungsi inklusi bersifat kontinu?

Dalam topologi, suatu fungsi dikatakan kontinu apabila praimaj dari setiap himpunan terbuka tetap merupakan himpunan terbuka.

Untuk fungsi inklusi \( f : Y \to X \), jika \( U \) adalah himpunan terbuka di \( X \), maka praimajnya melalui \( f \) adalah:

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Menurut definisi topologi subruang, setiap himpunan terbuka di \( Y \) memang diperoleh dari irisan antara himpunan terbuka di \( X \) dengan himpunan \( Y \).

Karena \( U \cap Y \) selalu terbuka di \( Y \), maka fungsi inklusi otomatis kontinu.

Catatan: Inilah alasan mengapa topologi subruang dirancang sedemikian rupa. Struktur tersebut memastikan bahwa fungsi inklusi selalu kontinu.

Contoh fungsi inklusi

Misalkan:

$$ X = \mathbb{R} $$

yaitu garis bilangan real, dan:

$$ Y = (0,1) $$

yakni interval terbuka antara 0 dan 1.

Fungsi inklusinya adalah:

$$ f : Y \to X $$

dengan:

$$ f(y) = y \ \ \ \text{untuk semua} \ \ y \in (0,1) $$

Artinya, semua titik dalam interval \( (0,1) \) dipandang sebagai bagian dari garis bilangan real \( \mathbb{R} \).

Sekarang ambil himpunan terbuka berikut pada \( X \):

$$ U = (-1,0.5) $$

Irisan himpunan tersebut dengan \( Y = (0,1) \) adalah:

$$ U \cap Y = (-1,0.5) \cap (0,1) = (0,0.5) $$

Hasilnya tetap berupa interval terbuka di dalam \( Y \).

Dengan demikian, \( U \cap Y = (0,0.5) \) merupakan himpunan terbuka dalam topologi subruang pada \( Y \).

Karena hal yang sama berlaku untuk setiap himpunan terbuka \( U \) di \( X \), maka fungsi inklusi \( f : Y \to X \) bersifat kontinu.

Dan seterusnya.