Kontinuitas dalam topologi kuosien
Dalam topologi kuosien, sebuah fungsi surjektif \( f: X \to A \) otomatis bersifat kontinu. Alasannya sederhana: suatu himpunan \( V \subseteq A \) didefinisikan sebagai himpunan terbuka jika dan hanya jika praimajinya \( f^{-1}(V) \) terbuka di \( X \).
Misalkan kita memiliki sebuah ruang topologi \( X \) dan fungsi surjektif \( f: X \to A \), dengan \( A \) sebagai himpunan sembarang yang tidak harus menjadi subset dari \( X \).
Pada topologi kuosien, struktur topologi pada \( A \) dibangun sedemikian rupa sehingga fungsi \( f \) menjadi kontinu.
Ide dasarnya adalah sebagai berikut. Suatu himpunan \( V \subseteq A \) dianggap terbuka di \( A \) apabila praimajinya melalui fungsi \( f \), yaitu \( f^{-1}(V) \), merupakan himpunan terbuka di \( X \).
Karena definisinya memang dibuat seperti itu, syarat kontinuitas untuk fungsi \( f \) otomatis terpenuhi.
Catatan. Dalam topologi kuosien, konsep keterbukaan pada \( A \) ditentukan melalui praimaji himpunan-himpunan di \( X \). Oleh sebab itu, fungsi \( f \) langsung menjadi kontinu berdasarkan definisinya.
Contoh praktis
Misalkan kita mempunyai ruang \( X = \{a, b, c\} \), yaitu himpunan yang terdiri atas tiga titik.
Kemudian definisikan fungsi surjektif \( f: X \to A \), dengan \( A = \{1, 2\} \), sebagai berikut:
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \).
Fungsi ini "menggabungkan" titik \( a \) dan \( b \) menjadi satu titik, yaitu \( 1 \) di dalam himpunan \( A \).
Dalam topologi kuosien, suatu himpunan \( V \subseteq A \) dikatakan terbuka apabila praimajinya \( f^{-1}(V) \) terbuka di \( X \).
Sebagai contoh, ambil \( V = \{1\} \subseteq A \). Praimajinya adalah \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Jika \( \{a, b\} \) terbuka di \( X \), maka \( V \) juga terbuka di \( A \).
Dengan demikian, himpunan-himpunan terbuka di \( A \) adalah: \( \emptyset \), \( \{1, 2\} \), dan \( \{2\} \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), yaitu himpunan kosong yang selalu terbuka dalam setiap topologi, sehingga juga terbuka di \( X \)
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \cup \{c\} = \{a, b, c\} \), yaitu seluruh himpunan \( X \), sehingga terbuka di \( X \)
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \cup \{b\} = \{a, b\} \), yang terbuka di \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), yang juga terbuka di \( X \)
Intinya, topologi kuosien pada \( A \) membuat fungsi \( f \) menjadi kontinu karena setiap himpunan terbuka di \( A \) selalu memiliki praimaji yang terbuka di \( X \).
Dengan kata lain, kontinuitas fungsi \( f \) dijamin langsung oleh definisi topologi kuosien pada \( A \).
Dan seterusnya.
