Definisi Kontinuitas melalui Himpunan Terbuka

Suatu fungsi \( f : X \to Y \) dikatakan kontinu jika dan hanya jika, untuk setiap titik \( x \in X \) dan setiap himpunan terbuka \( U \subset Y \) yang memuat \( f(x) \), terdapat suatu lingkungan \( V \) dari \( x \) sehingga \( f(V) \subset U \).

Secara lebih sederhana, fungsi \( f: X \to Y \) bersifat kontinu apabila praimaj \( f^{-1}(U) \) dari setiap himpunan terbuka \( U \subset Y \) selalu merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Inti dari konsep ini adalah bahwa fungsi kontinu mempertahankan keterbukaan himpunan melalui operasi praimaj. Dengan kata lain, setiap himpunan terbuka di kodomain akan memiliki praimaj yang juga terbuka di domain.

Teorema ini memberikan cara pandang topologis terhadap kontinuitas. Berbeda dengan pendekatan \(\varepsilon\)-\(\delta\) yang menggunakan jarak, definisi ini hanya bergantung pada konsep himpunan terbuka.

Karena itu, definisi ini sering disebut sebagai definisi kontinuitas melalui himpunan terbuka.

Catatan: Teorema ini juga dikenal sebagai "ekuivalensi definisi kontinuitas" karena menunjukkan bahwa definisi topologis dan definisi analitis kontinuitas sebenarnya menggambarkan konsep yang sama. Dalam analisis real, kontinuitas biasanya didefinisikan sebagai berikut: "Suatu fungsi \( f \) kontinu di titik \( x_0 \in \mathbb{R} \) jika untuk setiap \(\varepsilon > 0\), terdapat \(\delta > 0\) sehingga untuk setiap \( x \in \mathbb{R} \), apabila \( |x - x_0| < \delta \), maka \( |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \)." Definisi ini umumnya diperkenalkan dalam mata kuliah kalkulus dasar.

Terdapat pula formulasi lain yang sepenuhnya ekuivalen, yaitu menggunakan himpunan tertutup.

Diberikan dua ruang topologi \( X \) dan \( Y \), suatu fungsi \( f: X \to Y \) kontinu jika dan hanya jika praimaj \( f^{-1}(C) \) dari setiap himpunan tertutup \( C \) di \( Y \) juga merupakan himpunan tertutup di \( X \).

Oleh karena itu, kontinuitas dapat dipahami baik melalui himpunan terbuka maupun himpunan tertutup, karena kedua konsep tersebut saling terkait erat dalam topologi.

Contoh

Perhatikan fungsi \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) yang didefinisikan oleh

$$ f(x) = x^2 $$

Kita akan memeriksa apakah fungsi ini kontinu dengan menggunakan definisi melalui himpunan terbuka.

Menurut definisi tersebut, suatu fungsi kontinu apabila untuk setiap himpunan terbuka \( U \subset \mathbb{R} \) dan setiap titik \( x \in f^{-1}(U) \), terdapat suatu lingkungan \( V \) dari \( x \) sehingga \( f(V) \subset U \).

Mari kita pilih sebuah himpunan terbuka:

$$ U = (1,4) $$

Himpunan ini memuat semua bilangan real yang berada di antara 1 dan 4.

Langkah pertama adalah menentukan praimaj \( f^{-1}(U) \), yaitu semua nilai \( x \) yang dipetakan oleh fungsi ke dalam interval \( (1,4) \).

Kita harus menyelesaikan ketaksamaan:

$$ 1 < x^2 < 4 $$

yang ekuivalen dengan:

$$ 1 < |x| < 2 $$

Sehingga diperoleh:

$$ f^{-1}(U)=(-2,-1)\cup(1,2) $$

Karena gabungan dua interval terbuka merupakan himpunan terbuka, maka \( f^{-1}(U) \) memang terbuka di \( \mathbb{R} \).

Sekarang kita periksa syarat kontinuitasnya.

Ambil sebuah titik dalam \( f^{-1}(U) \), misalnya:

$$ x=1.5 $$

Citra titik tersebut adalah:

$$ f(1.5)=1.5^2=2.25 $$

Nilai ini berada di dalam interval \( U=(1,4) \).

Selanjutnya kita cari suatu lingkungan di sekitar \( x=1.5 \). Misalnya:

$$ V=(1.4,1.6) $$

Jika kita menghitung nilai fungsi pada ujung interval tersebut, diperoleh:

$$ f(1.4)=1.4^2=1.96 $$

dan

$$ f(1.6)=1.6^2=2.56 $$

Dengan demikian:

$$ f(V)=(1.96,2.56) $$

Karena seluruh interval ini berada di dalam \( U=(1,4) \), maka:

$$ f(V)\subset U $$

Artinya, terdapat suatu lingkungan di sekitar titik \( x=1.5 \) yang seluruh citranya tetap berada di dalam himpunan terbuka \( U \).

Argumen yang sama dapat diterapkan pada titik-titik lain dalam domain. Oleh karena itu, fungsi \( f(x)=x^2 \) memenuhi definisi kontinuitas melalui himpunan terbuka.

Catatan: Untuk membuktikan bahwa suatu fungsi kontinu, tidak cukup memeriksa satu titik saja. Syarat kontinuitas harus berlaku pada setiap titik dalam domain. Dengan kata lain, untuk setiap titik \( x \in X \) dan setiap himpunan terbuka \( U \) yang memuat \( f(x) \), harus ada suatu lingkungan \( V \) dari \( x \) sehingga \( f(V) \subset U \).

Pembuktian

Pembuktian teorema ini terdiri atas dua bagian.

A] Dari Definisi Praimaj Himpunan Terbuka ke Definisi Lingkungan

Misalkan fungsi \( f \) kontinu dalam arti bahwa praimaj setiap himpunan terbuka di \( Y \) merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Ambil sebuah titik \( x \in X \) dan sebuah himpunan terbuka \( U \subset Y \) yang memuat \( f(x) \).

Definisikan:

$$ V=f^{-1}(U) $$

Karena \( f \) kontinu, himpunan \( V \) terbuka di \( X \).

Selain itu, \( x \in V \) dan setiap titik dalam \( V \) dipetakan ke dalam \( U \). Dengan demikian:

$$ f(V)\subset U $$

Ini membuktikan bahwa terdapat suatu lingkungan \( V \) dari \( x \) yang seluruh citranya berada di dalam \( U \).

B] Dari Definisi Lingkungan ke Definisi Praimaj Himpunan Terbuka

Sekarang misalkan bahwa untuk setiap titik \( x \in X \) dan setiap himpunan terbuka \( U \subset Y \) yang memuat \( f(x) \), terdapat suatu lingkungan \( V \) dari \( x \) sehingga \( f(V)\subset U \).

Kita ingin menunjukkan bahwa praimaj setiap himpunan terbuka di \( Y \) juga terbuka di \( X \).

Ambil sebuah himpunan terbuka \( W \subset Y \) dan sebuah titik sembarang:

$$ x\in f^{-1}(W) $$

Karena \( f(x)\in W \), berdasarkan hipotesis terdapat suatu lingkungan terbuka \( V_x \) dari \( x \) yang memenuhi:

$$ f(V_x)\subset W $$

Akibatnya:

$$ V_x\subset f^{-1}(W) $$

Jadi setiap titik dalam \( f^{-1}(W) \) memiliki lingkungan terbuka yang seluruhnya masih berada di dalam himpunan tersebut.

Menurut definisi himpunan terbuka, hal ini berarti bahwa \( f^{-1}(W) \) merupakan himpunan terbuka di \( X \).

Kesimpulan

Kedua definisi kontinuitas, yaitu definisi menggunakan praimaj himpunan terbuka dan definisi menggunakan lingkungan, ternyata ekuivalen.

Meskipun terlihat berbeda, keduanya mendeskripsikan konsep matematis yang sama. Definisi melalui himpunan terbuka sangat penting dalam topologi karena memungkinkan konsep kontinuitas diperluas ke ruang yang tidak selalu memiliki struktur jarak seperti pada analisis real.